Corrigé X 2025 Physique et SI MP — Physique, partie 2.2 (Q16 à Q22) : Ondulation des couches d'un film smectique étiré : seuil d'instabilité, nombre d'onde sélectionné, amplitude, exploitation des mesures

Sujet officiel du concours X, session 2025, épreuve Physique et SI MP. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Un film smectique A (un grand nombre de couches, notations de la partie 2.1) est placé entre deux surfaces rigides planes et parallèles ; au repos, les couches sont planes et parallèles aux surfaces, distantes de $d_{0} \sim 0, 1 mm ≫ a_{0}$ . On écarte légèrement mais brutalement les surfaces : $d = d_{0} + δ$ , $0 \leq δ ≪ d_{0}$ , surface inférieure fixe, et l'on observe les couches juste après. Le film reste en contact avec les surfaces, le nombre de couches est constant ; le film est infini selon $(O x)$ et $(O y)$ . La figure 7(b) montre l'épaisseur apparente $M^{'} N^{'}$ d'une couche et son épaisseur réelle $a$ , pour la déformation $(M, N) \to (M^{'}, N^{'})$ .

{Figure 7 — (a) film entre deux surfaces planes ; (b) épaisseur apparente $M^{'} N^{'}$ et épaisseur réelle $a$ d'une couche inclinée.}

Q16. Montrer que, pour tenir compte de l'inclinaison locale des couches, le terme (1) de (7) devient, à l'ordre correctif le plus bas, $(1^{'}) = (\frac{\partial u}{\partial z} - \frac{1}{2} (\frac{\partial u}{\partial y})^{2})^{2}$ (8).

On admet que c'est la seule correction utile ; le terme (2) est inchangé et $e$ désigne l'énergie corrigée. On cherche

$u (y, z) = α z + A_{n} sin (k_{n} z + ϕ_{n}) cos (q y) (9)$

avec $α = δ / d_{0}$ , $0 \leq α ≪ 1$ , $z \in [0, d_{0}]$ , $A_{n} \geq 0$ , $n \in N^{⋆}$ , $k_{n} > 0$ , $ϕ_{n} \in R$ , $q > 0$ ; l'ondulation existe si $A_{n} \neq = 0$ .

Q17. Pour $A_{n} \neq = 0$ : valeur de $ϕ_{n}$ et ensemble des $k_{n}$ possibles. On retient le plus petit, noté $k$ , d'amplitude $A$ : représenter quelques couches sur $[0, d]$ .

Énergie volumique moyenne sur un domaine $L_{x} \times (2 π / q) \times d_{0}$ :

$⟨ e ⟩ = \frac{1}{2} B (α^{2} + \frac{A ^{2}}{4} S (α, k, q) + \frac{A ^{4}}{4} W (q)) (11)$

$S (α, k, q) = k^{2} - α q^{2} + λ^{2} q^{2} (k^{2} + q^{2}), W (q) = (\frac{3}{8})^{2} q^{4} (12)$

Q18. Allure de $⟨ e ⟩ (A)$ pour $S > 0$ et pour $S < 0$ , sur les mêmes axes.
Q19. Critère d'apparition de l'ondulation ; seuil $α_{s}$ en fonction de $λ$ et $k$ ; nombre d'onde $q_{s}$ sélectionné quand $α \to α_{s}^{+}$ ; puis $q_{s}^{2}$ en fonction de $λ$ et $d_{0}$ .
Q20. Pour $d_{0} \sim 0, 1 mm$ et $λ \sim a_{0} \sim 5 nm$ : $k \sim 3 \times 1 0^{4} m^{- 1}$ , $α_{s} \sim 3 \times 1 0^{- 4}$ , $q_{s} \sim 2 \times 1 0^{6} m^{- 1}$ . Vérifier les hypothèses, en particulier $H_{u}$ .
Q21. Avec $ε = α - α_{s}$ , $0 \leq ε / α_{s} ≪ 1$ : amplitude $A$ en fonction de $ε$ et $q_{s}$ .
Q22. Mesures de $q_{s}^{2}$ en fonction de $1/ d_{0}$ (cristal liquide CBOOA, $7 8^{\circ} C$ , figure 8) : confirment-elles un résultat de Q19 ? Estimer $λ$ et comparer au modèle de Q14.

{Figure 8 — $q_{s}^{2}$ en fonction de $1/ d_{0}$ (Delaye, Ribotta, Durand, Physics Letters 44A, 1973).}

Corrigé

Q16. Épaisseur apparente. $M$ et $N$ sont sur la même verticale, à la distance $a_{0}$ ; leurs images sont déplacées verticalement de $u (M)$ et $u (N)$ . Sous $H_{u}$ :

$M^{'} N^{'} = a_{0} + u (N) - u (M) \approx a_{0} (1 + \frac{\partial u}{\partial z}) .$

Épaisseur réelle. La couche déformée est inclinée sur l'horizontale de l'angle $θ$ tel que $tan θ = ∣ \partial u / \partial y ∣$ (pente de la couche, égale à l'angle entre $n$ et $e_{z}$ ). Entre deux plans parallèles inclinés de $θ$ , la distance mesurée verticalement est $M^{'} N^{'}$ , la distance mesurée perpendiculairement (épaisseur réelle) est

$a = M^{'} N^{'} cos θ = \frac{M ^{'} N ^{'}}{1 + ( \partial u / \partial y ) ^{2}} \approx a_{0} (1 + \frac{\partial u}{\partial z}) (1 - \frac{1}{2} (\frac{\partial u}{\partial y})^{2}) .$

À l'ordre le plus bas (on néglige le produit $\frac{\partial u}{\partial z} (\frac{\partial u}{\partial y})^{2}$ , d'ordre supérieur), la déformation relative réelle de l'épaisseur est

$\frac{a - a _{0}}{a _{0}} \approx \frac{\partial u}{\partial z} - \frac{1}{2} (\frac{\partial u}{\partial y})^{2} .$

L'énergie de compression dépend de la variation de l'épaisseur réelle des couches (c'est elle qui étire les ressorts du modèle, le long des bâtonnets) : dans $e_{E} = \frac{1}{2} B (\dots)^{2}$ (Q12), $\partial u / \partial z$ est remplacé par $(a - a_{0}) / a_{0}$ , d'où le terme

$(1^{'}) = (\frac{\partial u}{\partial z} - \frac{1}{2} (\frac{\partial u}{\partial y})^{2})^{2} .$

Ce que le correcteur attend : la correction est quadratique en $\partial u / \partial y$ , mais elle est du même ordre que $\partial u / \partial z \sim α$ dès que $(\partial u / \partial y)^{2} \sim α$ : c'est pourquoi on la garde. Elle est décisive : en inclinant les couches, on diminue leur épaisseur réelle, ce qui compense l'étirement imposé.

Q17. Conditions aux limites. Les couches au contact des surfaces rigides et planes restent planes et solidaires des surfaces : $u (y, 0) = 0$ et $u (y, d_{0}) = δ$ pour tout $y$ .

En $z = 0$ : $A_{n} sin ϕ_{n} cos (q y) = 0$ pour tout $y$ , avec $A_{n} \neq = 0$ : $sin ϕ_{n} = 0$ , soit $ϕ_{n} = 0$ (modulo $π$ ; $ϕ_{n} = π$ revient à changer le signe de l'ondulation, c'est-à-dire à translater le motif de $π / q$ selon $y$ ).
En $z = d_{0}$ : $α d_{0} = δ$ est déjà assuré par le terme linéaire, il faut donc $A_{n} sin (k_{n} d_{0}) = 0$ , soit $k_{n} = \frac{nπ}{d _{0}}, n \in N^{⋆}$ : ensemble discret, comme les modes propres d'une corde fixée à ses deux extrémités.

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