Corrigé X 2025 Physique et SI MP — SI, partie 1 (Q1 à Q4) : Exosquelette actif : équation du mouvement du coude, masse portée, mesure de m1l1 sur plateforme d'effort, profil de vitesse triangulaire

On étudie l'exosquelette de bras ABLE (CEA LIST) : figures 1 et 2 du sujet, deux photographies (robots ABLE-7D portés par un utilisateur ; robot ABLE 1D : support de la motorisation, attache du bras, articulation, coulisse articulée, chariot d'attache de l'avant-bras). Seul le degré de liberté de flexion/extension du coude est étudié, le bras $0$ étant fixe et vertical.

Repère $R_0=(O,\overrightarrow{x},\overrightarrow{y_0},\overrightarrow{z_0})$ lié au bras $0$ ; repère $R_1=(O,\overrightarrow{x},\overrightarrow{y_1},\overrightarrow{z_1})$ lié à l'avant-bras $1$, ${\theta }_1=(\overrightarrow{y_0},\overrightarrow{y_1})=(\overrightarrow{z_0},\overrightarrow{z_1})$, ${\theta }_1\in ]-90^{\circ },90^{\circ }[$. $\overrightarrow{O{G}_1}=l_1\overrightarrow{y_1}$ ; $m_1$ masse de l'avant-bras et de la main, $J_1$ moment d'inertie autour de $(O,\overrightarrow{x})$ ; $\overrightarrow{g}=-g\overrightarrow{z_0}$ ; frottement visqueux au coude ${\overrightarrow{C}}_{v1}=-{\nu }_1{\dot{\theta }}_1\overrightarrow{x}$ ; couple exercé par l'humain $C_1\overrightarrow{x}$.

{Figure 3 — Paramétrage du coude ($OB=L$).}

Q1. Établir l'équation différentielle du mouvement de l'avant-bras ; en préciser l'origine.
Q2. Modifier cette équation si une masse ponctuelle $m$ est placée en $B$ et déplacée par l'utilisateur.

Mesure de $m_1{l}_1$.

Le patient se tient vertical sur une plateforme d'effort ; étude dans le plan $(O,\overrightarrow{y_0},\overrightarrow{z_0})$. $S$ est le point de contact avec le sol ; la plateforme mesure la force verticale $F(t)\overrightarrow{z_0}$ et le moment en $S$, $M(t)\overrightarrow{x}$, exercés par le sol sur le patient ; $\overrightarrow{SO}=H\overrightarrow{z_0}$. Bras collé le long du corps, le patient fléchit et étend lentement le coude.

Q3. Schéma paramétré de l'essai ; comment obtenir $m_1{l}_1$ à partir des mesures ?

Mesure de $J_1$.

Figure 4 du sujet (rendu d'un patient) : l'avant-bras passe d'une position initiale basse à une position finale où l'index vise une cible, l'angle $\theta$ étant repéré depuis l'horizontale ($0^{\circ }$). La figure 5 donne la vitesse angulaire mesurée ; on l'approche par un profil triangulaire (figure 6) : l'avant-bras va de $-{\theta }_0$ à ${\theta }_0$ en un temps $T$, vitesse maximale ${\omega }_{\max }$.

{Figure 5 — Vitesse angulaire ${\dot{\theta }}_1$ mesurée lors d'une expérience type (pic d'environ $215^{\circ }/\mathrm{s}$ vers $0,52\mathrm{s}$).}

{Figure 6 — Profil de vitesse angulaire adopté.}

Q4. Relation entre ${\theta }_0$, ${\omega }_{\max }$ et $T$ ; valeur de ${\omega }_{\max }$ en ${}^{\circ }/\mathrm{s}$ pour ${\theta }_0=30^{\circ }$ et $T=0,5\mathrm{s}$.