Corrigé X 2025 Physique et SI MP — SI, partie 2 (Q5 à Q10) : Interaction robot-humain : fermeture géométrique, puissances, énergie cinétique, théorème de l'énergie cinétique, linéarisation

Sujet officiel du concours X, session 2025, épreuve Physique et SI MP. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

L'axe du robot ne peut pas coïncider exactement avec celui du coude : une chaîne cinématique particulière relie l'exosquelette à l'avant-bras (figure 7). Notations de la partie 1 conservées ( $R_{0}$ , $R_{1}$ , $θ_{1}$ , $m_{1}$ , $l_{1}$ , $J_{1}$ , $ν_{1}$ , $C_{1}$ ).

Le bâti du robot est lié au bras $0$ ; $O O^{'} = - d (cos α y_{0} + sin α z_{0})$ , $d > 0$ , $α = (y_{0}, O^{'} O) \in] 0, π /2 [$ . Solide $2$ (mû par le moteur) : repère $R_{2} = (O^{'}, x, y_{2}, z_{2})$ , pivot d'axe $(O^{'}, x)$ par rapport à $0$ , $θ_{2} = (y_{0}, y_{2}) = (z_{0}, z_{2}) \in] - 9 0^{\circ}, 9 0^{\circ} [$ . Solide $3$ : glissière de direction $y_{2}$ par rapport à $2$ et tige liée à $1$ par une pivot d'axe $(A, x)$ . $O A = L_{1} y_{1}$ ( $L_{1}$ constant), $O^{'} A = λ y_{2}$ ( $λ$ variable).

{Figure 7 — Implantation de l'exosquelette (ici $θ_{1} < 0$ et $θ_{2} < 0$ ).}

Q5. Relation entre $θ_{1}$ et $θ_{2}$ , fonction de $d$ , $L_{1}$ et $α$ .
Q6. Montrer que $θ_{2} \approx θ_{1}$ lorsque $d ≪ L_{1}$ .

Suite.

On pose désormais $θ_{1} = θ_{2} = θ$ . Solide $2$ : moment d'inertie $J_{2}$ autour de $(O^{'}, x)$ , masse $m_{2}$ , $O^{'} G_{2} = l_{2} y_{2}$ ; masse et inertie de $3$ négligeables. Le moteur exerce le couple $C_{2} x$ sur $2$ ; pivot $2/0$ : frottement fluide de coefficient $ν_{2}$ et frottement sec modélisé par un couple constant $- C_{s} x$ ; autres liaisons parfaites.

Q7. Puissance des efforts extérieurs et puissance intérieure ; détailler les termes.
Q8. Énergie cinétique de l'ensemble en mouvement.
Q9. Montrer (théorème et système précisés) que $J θ ¨ + ν θ ˙ + f (θ) = C_{1} + C_{2} - C_{s}$ (équation (3)) ; exprimer $J$ , $ν$ et $f$ .

Le moteur est piloté en couple. On linéarise autour de $θ = 0^{\circ}$ (variations de $\pm 3 0^{\circ}$ acceptables), avec $C_{2} = C_{0} + Δ C$ ( $C_{0}$ couple d'équilibre) et $C_{1} = 0$ .

Q10. Relation linéaire entre $θ$ et $Δ C$ ; expression de $C_{0}$ .

Corrigé

Q5. Fermeture géométrique de la chaîne $0$ – $2$ – $3$ – $1$ – $0$ :

$O^{'} A = O^{'} O + O A ⟺ λ y_{2} = d (cos α y_{0} + sin α z_{0}) + L_{1} y_{1},$

avec $y_{1} = cos θ_{1} y_{0} + sin θ_{1} z_{0}$ et $y_{2} = cos θ_{2} y_{0} + sin θ_{2} z_{0}$ . En projection sur $y_{0}$ et $z_{0}$ :

$λ cos θ_{2} = d cos α + L_{1} cos θ_{1}, λ sin θ_{2} = d sin α + L_{1} sin θ_{1} .$

On élimine l'inconnue $λ > 0$ par le quotient (licite : $cos θ_{2} > 0$ sur $] - 9 0^{\circ}, 9 0^{\circ} [$ , et $d cos α + L_{1} cos θ_{1} > 0$ ) :

$tan θ_{2} = \frac{L _{1} sin θ _{1} + d sin α}{L _{1} cos θ _{1} + d cos α} .$

Forme équivalente, en projetant la fermeture sur $z_{2}$ (perpendiculaire à $O^{'} A$ ), avec $y_{0} \cdot z_{2} = - sin θ_{2}$ , $z_{0} \cdot z_{2} = cos θ_{2}$ et $y_{1} \cdot z_{2} = sin (θ_{1} - θ_{2})$ :

$0 = d sin (α - θ_{2}) + L_{1} sin (θ_{1} - θ_{2}) ⟺ L_{1} sin (θ_{2} - θ_{1}) = d sin (α - θ_{2}) .$

(La projection sur $y_{2}$ donnerait la course de la glissière, $λ^{2} = L_{1}^{2} + d^{2} + 2 d L_{1} cos (θ_{1} - α)$ .)

Q6. De la seconde forme, $∣ sin (θ_{2} - θ_{1}) ∣ = \frac{d}{L _{1}} ∣ sin (α - θ_{2}) ∣ \leq \frac{d}{L _{1}} ≪ 1$ . La solution $θ_{2} - θ_{1}$ voisine de $\pm π$ est exclue, puisque l'expression de $tan θ_{2}$ tend vers $tan θ_{1}$ quand $d / L_{1} \to 0$ ; donc $∣ θ_{2} - θ_{1} ∣ ≪ 1$ et, au premier ordre en $d / L_{1}$ :

$θ_{2} - θ_{1} \approx \frac{d}{L _{1}} sin (α - θ_{1}), ∣ θ_{2} - θ_{1} ∣ \leq \frac{d}{L _{1}} rad ⟹ θ_{2} \approx θ_{1} .$

Géométriquement : l'axe $O^{'}$ du robot est très proche de l'axe $O$ du coude devant la distance $L_{1}$ du point d'attache $A$ , et les droites $(O^{'} A)$ et $(O A)$ sont presque parallèles. La glissière et les deux pivots absorbent le défaut d'alignement des axes sans contraindre l'articulation.

100 % gratuit

La suite du corrigé est sur Adloun

Le corrigé rédigé en entier, question par question, et le tuteur pour poser des questions sur ce sujet.

Voir le corrigé complet, gratuitement

Inscription gratuite en 30 secondes (e-mail, nom d'utilisateur, mot de passe, classe ou profil), sans carte bancaire : arrivée directe sur le corrigé.

Toutes les parties de l'épreuve

Corrigé complet gratuit →