Corrigé X 2026 Maths B MP — Deuxième partie (5a à 9b) : Spectre des matrices tridiagonales de Toeplitz et répartition limite des valeurs propres

Sujet officiel du concours X, session 2026, épreuve Maths B MP. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

$T_{n} \in M_{n} (R)$ ( $n \geq 2$ ) a des $1$ sur la sur-diagonale et la sous-diagonale, des $0$ ailleurs ; $χ_{n} = det (X I_{n} - T_{n})$ . Pour $f : R \to R$ et $M \in M_{n} (R)$ , $S_{f} (M) = \frac{1}{n} \sum_{(λ, m_{λ}) \in Sp (M)} m_{λ} f (λ)$ (valeurs propres réelles comptées avec multiplicité). $T_{n} (a, b, c)$ a des $a$ sur la diagonale, des $b$ sur la sur-diagonale, des $c$ sur la sous-diagonale.

Q5a. Calculer $χ_{2}$ , $χ_{3}$ et les spectres. Q5b. Pour $n \geq 4$ , exprimer $χ_{n}$ en fonction de $χ_{n - 1}$ , $χ_{n - 2}$ . Q5c. Pour $α \in C$ , $∣ α ∣ < 2$ , établir la formule de $χ_{n} (α)$ en $(\frac{α \pm i 4 - α ^{2}}{2})^{n + 1}$ . Q5d. En déduire les coefficients de $χ_{n}$ . Q6. Montrer que les valeurs propres de $T_{n}$ sont les $2 cos \frac{k π}{n + 1}$ , $1 \leq k \leq n$ . Q7. Pour $f$ continue sur $[- 2, 2]$ , montrer que $S_{f} (T_{n}) \to I (f)$ . Q8a. Spectre de $T_{n} (a, b, c)$ en fonction de $a$ et de celui de $T_{n} (0, b, c)$ . Q8b. Idem avec celui de $T_{n} (0, b c, 1)$ . Q8c. Si $b c > 0$ , donner toutes les valeurs propres complexes de $T_{n} (a, b, c)$ . Q9a. ( $b c > 0$ ) Pour $f$ continue sur $R$ , $S_{f} (T_{n} (a, b, c)) \to \frac{1}{π} \int_{- 2}^{2} \frac{f ( a + b c x )}{4 - x ^{2}} d x$ . Q9b. Équivalent du nombre $q_{n} (y)$ de valeurs propres de $T_{n} (a, b, c)$ dans $] - \infty, y]$ .

Corrigé

Q5a. Pour $n = 2$ :

$χ_{2} = X - 1 - 1 X = X^{2} - 1, Sp (T_{2}) = {(1, 1), (- 1, 1)} .$

Pour $n = 3$ , en développant selon la première ligne :

$χ_{3} = X - 1 0 - 1 X - 1 0 - 1 X = X (X^{2} - 1) + - 1 0 - 1 X = X^{3} - 2 X,$

donc $χ_{3} = X (X - 2) (X + 2)$ et $Sp (T_{3}) = {(- 2, 1), (0, 1), (2, 1)}$ .

Q5b. Développons $det (X I_{n} - T_{n})$ selon la première ligne, qui vaut $(X, - 1, 0, \dots, 0)$ . Le cofacteur de $X$ est $χ_{n - 1}$ . Le mineur associé au coefficient $- 1$ (ligne $1$ , colonne $2$ ) a pour première colonne $(- 1, 0, \dots, 0)^{⊤}$ ; en le développant selon cette colonne, il vaut $- χ_{n - 2}$ . Avec le signe $(- 1)^{1 + 2}$ :

$χ_{n} = X χ_{n - 1} + (- 1)^{3} (- 1) (- χ_{n - 2}), soit χ_{n} = X χ_{n - 1} - χ_{n - 2} (n \geq 4) .$

(La relation vaut aussi pour $n = 3$ en posant $χ_{1} = X$ , déterminant de la matrice $1 \times 1$ nulle : $X (X^{2} - 1) - X = X^{3} - 2 X$ .)

Q5c. Soit $α \in C$ avec $∣ α ∣ < 2$ ; alors $α^{2} \neq = 4$ . Soit $δ = 4 - α^{2}$ une racine carrée complexe de $4 - α^{2}$ ( $δ \neq = 0$ ). Considérons la suite complexe $(u_{m})_{m \geq 0}$ de Q1 : $u_{0} = 0$ , $u_{1} = 1$ , $u_{m} = α u_{m - 1} - u_{m - 2}$ . On calcule

$u_{2} = α, u_{3} = α^{2} - 1 = χ_{2} (α), u_{4} = α (α^{2} - 1) - α = α^{3} - 2 α = χ_{3} (α) .$

Les suites $(χ_{n} (α))_{n \geq 2}$ et $(u_{n + 1})_{n \geq 2}$ vérifient la même récurrence d'ordre $2$ (Q5b évaluée en $α$ pour la première) et coïncident pour $n = 2, 3$ : par récurrence double, $χ_{n} (α) = u_{n + 1}$ pour tout $n \geq 2$ . Attention au décalage d'indice : c'est $u_{n + 1}$ , et non $u_{n}$ . D'après la remarque de Q1 (racines distinctes $\frac{α \pm i δ}{2}$ , de différence $i δ$ ) :

$χ_{n} (α) = \frac{1}{i 4 - α ^{2}} (\frac{α + i 4 - α ^{2}}{2})^{n + 1} - (\frac{α - i 4 - α ^{2}}{2})^{n + 1},$

formule indépendante du choix de la racine carrée.

Q5d. Posons $r_{\pm} = \frac{α \pm i δ}{2}$ et $m = n + 1$ . Par la formule du binôme,

$r_{+}^{m} - r_{-}^{m} = \frac{1}{2 ^{m}} j = 0 \sum m (j m) α^{m - j} (i δ)^{j} (1 - (- 1)^{j}) = \frac{2}{2 ^{m}} ℓ = 0 \sum ⌊ n /2 ⌋ (2 ℓ + 1 m) α^{m - 2 ℓ - 1} (i δ)^{2 ℓ + 1} .$

En divisant par $i δ$ et en utilisant $(i δ)^{2 ℓ} = (- δ^{2})^{ℓ} = (α^{2} - 4)^{ℓ}$ :

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