Corrigé X 2026 Maths B MP — Préliminaire (1) : Suite récurrente linéaire u_n = α u_{n-1} − u_{n-2} : les quatre cas selon |α|

Q1. La suite vérifie une récurrence linéaire d'ordre $2$ à coefficients constants, d'équation caractéristique

$$r^2-\alpha r+1=0,\Delta ={\alpha }^2-4.$$

Rappelons le théorème du cours (valable pour des suites complexes, et pour des suites réelles lorsque les racines sont réelles) : si l'équation caractéristique a deux racines distinctes $r_1\ne r_2$, les solutions sont les suites $(A{r}_1^n+B{r}_2^n)$ ; si elle a une racine double $r$, ce sont les suites $((A+Bn)r^n)$. Les constantes se déterminent par $u_0=0$ et $u_1=1$. On remarque que le produit des racines vaut toujours $1$.

Cas $|\alpha |>2$.

$\Delta >0$ : deux racines réelles distinctes