Corrigé X 2026 Maths B MP — Première partie (2 à 4b) : Sommes de Riemann, intégrales de Wallis et loi de l'arc sinus sur [−2, 2]

Sujet officiel du concours X, session 2026, épreuve Maths B MP. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Pour $f$ continue sur $[- 2, 2]$ , on pose $I (f) = \frac{1}{π} \int_{- 2}^{2} \frac{f ( x )}{4 - x ^{2}} d x$ , et $f_{n} (x) = x^{n}$ . Pour $n \geq 1$ , $U_{n}$ suit la loi uniforme sur $[[1, n]]$ .

Q2. Pour $f$ continue sur $[0, 1]$ , montrer que $v_{n} = \frac{1}{n} \sum_{k = 1}^{n} f (\frac{k}{n + 1})$ et $w_{n} = \frac{1}{n} \sum_{k = 1}^{n} f (\frac{2 k}{2 n + 1})$ convergent vers la même limite.
Q3a. Montrer que $I (f)$ converge et que $I (f) = \frac{1}{π} \int_{0}^{π} f (2 cos θ) d θ$ .
Q3b. Calculer $I (f_{0})$ , $I (f_{1})$ , $I (f_{2})$ .
Q3c. Calculer $I (f_{n})$ pour tout $n \geq 0$ .
Q4a. Montrer que $E (f (2 cos \frac{π U _{n}}{n + 1})) \to I (f)$ .
Q4b. Montrer que, pour $y \in [- 2, 2]$ , $P (2 cos \frac{π U _{n}}{n + 1} < y) \to \frac{1}{π} \int_{- 2}^{y} \frac{d x}{4 - x ^{2}}$ .

Corrigé

Q2. Outil : sommes de Riemann et continuité uniforme. Posons $R_{n} = \frac{1}{n} \sum_{k = 1}^{n} f (\frac{k}{n})$ . Comme $f$ est continue sur le segment $[0, 1]$ , le théorème des sommes de Riemann (subdivision régulière de pas $1/ n$ , points à droite) donne $R_{n} \to \int_{0}^{1} f (t) d t$ .

Par le théorème de Heine, $f$ est uniformément continue sur le segment $[0, 1]$ : pour $ε > 0$ , il existe $η > 0$ tel que $∣ s - t ∣ \leq η \Rightarrow ∣ f (s) - f (t) ∣ \leq ε$ . Pour $1 \leq k \leq n$ :

$\frac{k}{n + 1} - \frac{k}{n} = \frac{k}{n ( n + 1 )} \leq \frac{1}{n + 1}, \frac{2 k}{2 n + 1} - \frac{k}{n} = \frac{k}{n ( 2 n + 1 )} \leq \frac{1}{2 n + 1} .$

Tous ces points sont dans $[0, 1]$ . Soit $n_{0}$ tel que $\frac{1}{n _{0} + 1} \leq η$ . Pour $n \geq n_{0}$ , chaque terme diffère de moins de $ε$ , donc, en moyennant les $n$ écarts,

$∣ v_{n} - R_{n} ∣ \leq \frac{1}{n} k = 1 \sum n f (\frac{k}{n + 1}) - f (\frac{k}{n}) \leq ε, ∣ w_{n} - R_{n} ∣ \leq ε .$

Ainsi $v_{n} - R_{n} \to 0$ et $w_{n} - R_{n} \to 0$ , d'où

$v_{n} n \to \infty \int_{0}^{1} f (t) d t et w_{n} n \to \infty \int_{0}^{1} f (t) d t .$

Ce que le correcteur attend : $v_{n}$ et $w_{n}$ ne sont pas des sommes de Riemann « standard » (le poids $\frac{1}{n}$ ne correspond pas au pas $\frac{1}{n + 1}$ ) ; il faut soit un argument de continuité uniforme comme ci-dessus, soit le théorème des sommes de Riemann pour une subdivision quelconque de pas tendant vers $0$ , avec la subdivision et les points explicités.

Q3a. Convergence. La fonction $g : x \mapsto \frac{f ( x )}{4 - x ^{2}}$ est continue sur $] - 2, 2 [$ . $f$ étant continue sur un segment, elle est bornée : $∣ f ∣ \leq M$ . Pour $x \in [0, 2 [$ , $2 + x \geq 2$ , donc

$∣ g (x) ∣ \leq \frac{M}{2 + x 2 - x} \leq \frac{M}{2} \frac{1}{( 2 - x ) ^{1/2}},$

et $x \mapsto (2 - x)^{- 1/2}$ est intégrable en $2$ (Riemann en une borne finie, exposant $\frac{1}{2} < 1$ ) ; de même en $- 2$ . Par comparaison, $∣ g ∣$ est intégrable sur $] - 2, 2 [$ : l'intégrale $I (f)$ converge absolument, donc converge.

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