Corrigé X 2026 Maths B MP — Quatrième partie (13a à 17b) : Matrices aléatoires symétriques : loi du demi-cercle de Wigner par la méthode des moments

Sujet officiel du concours X, session 2026, épreuve Maths B MP. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

$(W_{i, j})_{1 \leq i \leq j}$ sont des variables aléatoires à valeurs dans $Z$ , indépendantes, de même loi, avec $E (W_{1, 1}) = 0$ , $E (W_{1, 1}^{2}) = 1$ et des moments de tous ordres finis. $X_{n}$ est la matrice symétrique de coefficients $(X_{n})_{i, j} = W_{i, j} / n$ pour $i \leq j$ . On pose $S_{n} (f) = S_{f} (X_{n})$ (notation de Q7), $Σ (f) = \frac{1}{2 π} \int_{- 2}^{2} f (x) 4 - x^{2} d x$ et

$(H_{k}) \frac{1}{n} E (Tr (X_{n}^{k})) \to Σ (f_{k}) et \frac{1}{n ^{2}} E (Tr (X_{n}^{k})^{2}) \to Σ (f_{k})^{2} .$

Q13a. Montrer que $S_{n} (f_{k}) = \frac{1}{n} Tr (X_{n}^{k})$ . Q13b. Calculer $Σ (f_{k})$ . Q13c. Démontrer $(H_{k})$ pour $0 \leq k \leq 2$ . On admet ensuite $(H_{k})$ pour tout $k$ . Soit $g_{k, B} (x) = ∣ x ∣^{k} 1_{∣ x ∣ > B}$ . Q14. Montrer que $P (S_{n} (g_{k, B}) \geq ε) \leq \frac{E ( S _{n} ( f _{2 k} ))}{ε B ^{k}}$ . Q15. Pour $B > 4$ , montrer que $P (S_{n} (g_{k, B}) \geq ε) \to 0$ . On fixe $B > 4$ . Q16. Montrer que $P (∣ S_{n} (f_{k}) - E (S_{n} (f_{k})) ∣ \geq ε) \to 0$ . Soit $f$ continue sur $R$ , nulle hors de $[- B, B]$ , et $ε > 0$ . Q17a. Trouver $P \in R [X]$ et $N$ tels que, pour $n \geq N$ , $P (∣ S_{n} (f) - Σ (f) ∣ \geq ε)$ soit majorée par $P (∣ S_{n} (P 1_{∣ x ∣ > B}) ∣ \geq \frac{ε}{4}) + P (∣ S_{n} (P) - E (S_{n} (P)) ∣ \geq \frac{ε}{4})$ . Q17b. Conclure que $P (∣ S_{n} (f) - Σ (f) ∣ \geq ε) \to 0$ .

Corrigé

Q13a. Pour tout $ω$ , $X_{n} (ω)$ est symétrique réelle. Par le théorème spectral, $X_{n} (ω) = Ω D Ω^{⊤}$ avec $Ω \in O_{n} (R)$ et $D = diag (λ_{1}, \dots, λ_{n})$ réelle ; $χ_{X_{n} (ω)} = \prod_{i = 1}^{n} (X - λ_{i})$ est scindé sur $R$ , donc la liste $(λ_{1}, \dots, λ_{n})$ contient chaque valeur propre réelle $λ$ exactement $m_{λ}$ fois, et $\sum_{λ} m_{λ} = n$ . Alors $X_{n}^{k} = Ω D^{k} Ω^{⊤}$ et, la trace étant invariante par similitude,

$Tr (X_{n}^{k}) = Tr (D^{k}) = i = 1 \sum n λ_{i}^{k} = (λ, m_{λ}) \in Sp (X_{n}) \sum m_{λ} λ^{k} = n S_{f_{k}} (X_{n}) .$

D'où $S_{n} (f_{k}) = \frac{1}{n} Tr (X_{n}^{k})$ (pour $k = 0$ : $X_{n}^{0} = I_{n}$ et $f_{0} = 1$ , les deux membres valent $1$ ).

Deux remarques utiles pour la suite. (i) $S_{n} (f)$ est une fonction de la famille finie $(W_{i, j})_{1 \leq i \leq j \leq n}$ , à valeurs dans l'ensemble dénombrable $Z^{n (n + 1) /2}$ : c'est une variable aléatoire discrète. (ii) $Tr (X_{n}^{k})$ est une somme finie de termes $n^{- k /2} W_{p_{1}} \dots W_{p_{k}}$ ; par l'inégalité arithmético-géométrique, $∣ W_{p_{1}} \dots W_{p_{k}} ∣ \leq \frac{1}{k} \sum_{r} ∣ W_{p_{r}} ∣^{k}$ , intégrable par hypothèse. Donc $Tr (X_{n}^{k})$ , et de même $Tr (X_{n}^{k})^{2}$ (produits de $2 k$ facteurs), sont d'espérance finie : toutes les espérances de $(H_{k})$ ont un sens.

Q13b. Sur $] - 2, 2 [$ , $4 - x^{2} = \frac{4 - x ^{2}}{4 - x ^{2}}$ . Par linéarité des intégrales convergentes (Q3a) :

$Σ (f_{k}) = \frac{1}{2 π} \int_{- 2}^{2} \frac{4 x ^{k} - x ^{k + 2}}{4 - x ^{2}} d x = \frac{1}{2} (4 I (f_{k}) - I (f_{k + 2})) .$

Par Q3c : si $k$ est impair, $Σ (f_{k}) = 0$ . Si $k = 2 m$ , avec $(m + 1 2 m + 2) = (m 2 m) \frac{( 2 m + 2 ) ( 2 m + 1 )}{( m + 1 ) ^{2}} = (m 2 m) \frac{2 ( 2 m + 1 )}{m + 1}$ :

$Σ (f_{2 m}) = \frac{1}{2} (m 2 m) (4 - \frac{2 ( 2 m + 1 )}{m + 1}) = \frac{1}{2} (m 2 m) \cdot \frac{2}{m + 1} = \frac{1}{m + 1} (m 2 m),$

le $m$ -ième nombre de Catalan. En particulier $Σ (f_{0}) = 1$ , $Σ (f_{1}) = 0$ , $Σ (f_{2}) = 1$ , et $Σ (f_{2 m}) \leq (m 2 m) \leq \sum_{j} (j 2 m) = 4^{m}$ .

Q13c. $k = 0$ . $Tr (I_{n}) = n$ : $\frac{1}{n} E (n) = 1 = Σ (f_{0})$ et $\frac{1}{n ^{2}} E (n^{2}) = 1 = Σ (f_{0})^{2}$ .

$k = 1$ . $Tr (X_{n}) = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} W_{i, i}$ . Par linéarité, $E (Tr X_{n}) = 0$ car les $W_{i, i}$ ont la loi de $W_{1, 1}$ , centrée : $\frac{1}{n} E (Tr X_{n}) = 0 = Σ (f_{1})$ . Ensuite

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