Corrigé X 2026 Maths B MP — Troisième partie (10a à 12) : Une démonstration du théorème d'approximation de Weierstrass

Méthode (rappel du jury). Pour prouver $\Vert g_n-g{\Vert }_{\infty ,A}\to 0$, on majore $|g_n(x)-g(x)|$ par un réel $M_n$ indépendant de $x\in A$, puis on montre $M_n\to 0$.

Q10a. Deux inégalités élémentaires servent : l'inégalité de Bernoulli $(1-u{)}^N\ge 1-Nu$ pour $u\in [0,1]$ et $N\in \mathbb{N}$ (récurrence : comme $1-u\ge 0$, $(1-u{)}^{N+1}\ge (1-Nu)(1-u)=1-(N+1)u+N{u}^2\ge 1-(N+1)u$), et $1-u\le {\mathrm{e}}^{-u}$ pour tout réel $u$ (convexité de l'exponentielle).

Sur $[0,\kappa ]$. Pour $n\ge 1$ et $x\in [0,\kappa ]$, $0\le x^n\le {\kappa }^n\le 1$. La fonction $u\mapsto (1-u{)}^{2^n}$ étant décroissante sur $[0,1]$, $Q_n(x)\in [0,1]$ et

$$0\le 1-Q_n(x)\le 1-(1-{\kappa }^n{)}^{2^n}\le 2^n{\kappa }^n=(2\kappa {)}^n,$$

par Bernoulli. Ce majorant ne dépend pas de $x$ et tend vers $0$ car $0\le 2\kappa <1$ : ${\sup }_{[0,\kappa ]}|Q_n-1|\to 0$.

Sur $[1-\kappa ,1]$. Pour $x\in [1-\kappa ,1]$, $(1-\kappa {)}^n\le x^n\le 1$, donc $0\le 1-x^n\le 1-(1-\kappa {)}^n$ et

$$0\le Q_n(x)\le (1-(1-\kappa {)}^n{)}^{2^n}\le \exp (-2^n(1-\kappa {)}^n)=\exp (-(2-2\kappa {)}^n).$$

Comme $2-2\kappa >1$, $(2-2\kappa {)}^n\to +\infty$ et le majorant, indépendant de $x$, tend vers $0$ : ${\sup }_{[1-\kappa ,1]}|Q_n|\to 0$.

Q10b. Soit $\eta \in ]0,1]$ et $\kappa =\frac{1-\eta }{2}\in [0,\frac{1}{2}[$. L'application affine $x\mapsto \frac{1-x}{2}$ envoie $[\eta ,1]$ sur $[0,\kappa ]$ et $[-1,-\eta ]$ sur $[\frac{1+\eta }{2},1]=[1-\kappa ,1]$. Puisque $H=1$ sur $[\eta ,1]$ et $H=0$ sur $[-1,-\eta ]$ :