Corrigé X-ENS 2025 Maths A MP — Partie I (1 à 2c) : Induit d'un diagonalisable et invariant δ_k des noyaux itérés

Sujet officiel du concours X-ENS, session 2025, épreuve Maths A MP. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Tous les espaces vectoriels sont complexes. Pour $r \in N^{*}$ , le bloc de Jordan $J_{r} \in M_{r} (C)$ a tous ses coefficients nuls sauf ceux d'indice $(j + 1, j)$ , $1 \leq j \leq r - 1$ , qui valent $1$ (des $1$ sous la diagonale ; $J_{1} = (0)$ ). On note $diag (M_{1}, \dots, M_{s})$ la matrice diagonale par blocs de blocs diagonaux $M_{1}, \dots, M_{s}$ . Pour une matrice carrée $M$ et $k \in N^{*}$ :

$δ_{k} (M) = - dim ker M^{k - 1} + 2 dim ker M^{k} - dim ker M^{k + 1} .$

Q1. Si $h \in L (V)$ ( $dim V < \infty$ ) est diagonalisable et $W$ est stable par $h$ , montrer que l'endomorphisme induit $h_{W}$ est diagonalisable.
Q2a. Montrer que deux matrices semblables ont les mêmes $δ_{k}$ .
Q2b. Vérifier que $δ_{k} (J_{r})$ vaut $1$ si $k = r$ et $0$ sinon.
Q2c. Pour $M = diag (M_{1}, M_{2})$ , montrer que $dim ker M = dim ker M_{1} + dim ker M_{2}$ , puis que $δ_{k} (M) = δ_{k} (M_{1}) + δ_{k} (M_{2})$ (relations admises ensuite pour $s$ blocs).

Corrigé

Q1. Si $W = {0}$ , il n'y a rien à démontrer ; supposons $W \neq = {0}$ . Notons $μ_{h}$ le polynôme minimal de $h$ . D'après le critère algébrique de diagonalisabilité, $h$ étant diagonalisable, $μ_{h}$ est scindé à racines simples.

Le sous-espace $W$ étant stable par $h$ , il est stable par toute puissance $h^{k}$ (récurrence immédiate : $h^{k + 1} (W) = h (h^{k} (W)) \subset h (W) \subset W$ ), donc par tout polynôme $P (h)$ , et pour $w \in W$ on a $P (h_{W}) (w) = P (h) (w)$ . En particulier $μ_{h} (h_{W}) (w) = μ_{h} (h) (w) = 0$ pour tout $w \in W$ : $μ_{h}$ annule $h_{W}$ , donc le polynôme minimal $μ_{h_{W}}$ divise $μ_{h}$ (c'est le générateur unitaire de l'idéal annulateur de $h_{W}$ , et $C [X]$ est principal).

Un diviseur unitaire d'un polynôme scindé à racines simples est encore scindé à racines simples (ses racines sont des racines de $μ_{h}$ , et une racine multiple de $μ_{h_{W}}$ serait multiple dans $μ_{h}$ ). Par le critère algébrique, $h_{W}$ est diagonalisable.

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