Corrigé X-ENS 2025 Maths A MP — Partie II (3a à 5) : Polynômes de Laurent : l'endomorphisme décalage ξ, ses noyaux et ses sous-espaces cycliques

Sujet officiel du concours X-ENS, session 2025, épreuve Maths A MP. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

$C [X^{\pm 1}]$ est le sous-espace de $C (X)$ engendré par les $X^{k}$ , $k \in Z$ (une sous-algèbre). On note $D = Vect (X^{- j})_{j \in N^{*}}$ , de sorte que $C [X^{\pm 1}] = D \oplus C [X]$ , et $Π$ le projecteur sur $D$ parallèlement à $C [X]$ : $Π (\sum_{k = - p}^{q} f_{k} X^{k}) = \sum_{k = - p}^{- 1} f_{k} X^{k}$ . On pose $ξ (F) = Π (X F)$ pour $F \in C [X^{\pm 1}]$ , et $ξ$ l'endomorphisme de $D$ induit par $ξ$ .

Q3a. Montrer que $ξ (Π (F)) = ξ (F)$ pour tout $F \in C [X^{\pm 1}]$ .
Q3b. Pour $P \in C [X]$ et $F \in D$ , montrer que $P (ξ) (F) = Π (P F)$ .
Q4. Pour $n \in N$ , montrer que $ξ^{n}$ est surjectif et donner une base de $ker ξ^{n}$ .
Q5. Pour $r \in N^{*}$ , montrer que le plus petit sous-espace $D_{r}$ de $D$ contenant $X^{- r}$ et stable par $ξ$ a pour base $(X^{k - r})_{0 \leq k \leq r - 1}$ ; écrire la matrice de $ξ_{D_{r}}$ dans cette base.

Corrigé

Deux remarques préalables. D'une part $Π$ est linéaire, de noyau $C [X]$ , et $Π (F) = F$ pour $F \in D$ (c'est un projecteur d'image $D$ ). D'autre part, pour $j \in N^{*}$ ,

$ξ (X^{- j}) = Π (X^{1 - j}) = {X^{- (j - 1)} 0 si j \geq 2, si j = 1,$

puisque $X^{0} = 1 \in C [X]$ . L'endomorphisme $ξ$ « décale » la base $(X^{- j})_{j \geq 1}$ et tue $X^{- 1}$ .

Q3a. Soit $F \in C [X^{\pm 1}]$ . Posons $P = F - Π (F)$ : c'est la composante de $F$ sur $C [X]$ , donc $P \in C [X]$ , et $F = Π (F) + P$ . Comme $C [X^{\pm 1}]$ est une algèbre, $X F = X Π (F) + X P$ , avec $X P \in C [X] = ker Π$ . Par linéarité de $Π$ ,

$ξ (F) = Π (X F) = Π (X Π (F)) + Π (X P) = Π (X Π (F)) = ξ (Π (F)) .$

Q3b. Les deux membres sont linéaires en $P$ (pour $F$ fixé) : il suffit de traiter $P = X^{k}$ , $k \in N$ , c'est-à-dire de prouver $ξ^{k} (F) = Π (X^{k} F)$ pour tout $F \in D$ , par récurrence sur $k$ .

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