Corrigé X-ENS 2025 Maths A MP — Partie III (6a à 7) : Prolongement d'une application compatible avec un nilpotent, par un idéal de C[X]

Sujet officiel du concours X-ENS, session 2025, épreuve Maths A MP. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Notations de la partie II ( $D$ , $Π$ , $ξ$ ). $V$ est de dimension finie, $u \in L (V)$ est nilpotent, $W$ est un sous-espace stable par $u$ et $φ : W \to D$ est linéaire avec $ξ \circ φ = φ \circ u_{W}$ . Pour $W^{'} \supset W$ stable par $u$ , un prolongement de $φ$ à $W^{'}$ compatible avec $u$ est une application linéaire $φ^{'} : W^{'} \to D$ qui coïncide avec $φ$ sur $W$ et vérifie $ξ \circ φ^{'} = φ^{'} \circ u_{W^{'}}$ . En Q6, $W \neq = V$ et $v \in V ∖ W$ est fixé.

Q6a. Vérifier que $I = {P \in C [X], P (u) (v) \in W}$ est un idéal de $C [X]$ .
Q6b. Montrer que $X^{n} \in I$ pour un $n \in N$ , puis que $I = X^{r} C [X]$ pour un $r \in N$ .
Q6c. Vérifier que $W^{'} = {P (u) (v) + w, P \in C [X], w \in W}$ contient $W$ et $v$ et est stable par $u$ . On pose $G_{v} = φ (u^{r} (v))$ .
Q6d. Montrer qu'il existe $F_{v} \in D$ tel que $G_{v} = ξ^{r} (F_{v})$ .
Q6e. Si $P (u) (v) = w \in W$ , montrer que $P (ξ) (F_{v}) = φ (w)$ .
Q6f. Pour $x = P (u) (v) + w \in W^{'}$ , montrer que $φ^{'} (x) = P (ξ) (F_{v}) + φ (w)$ ne dépend que de $x$ , et que $φ^{'}$ (linéarité admise) est un prolongement de $φ$ à $W^{'}$ compatible avec $u$ .
Q7. Montrer que $φ$ admet un prolongement $ψ$ à $V$ compatible avec $u$ .

Corrigé

Un lemme utilisé plusieurs fois. Si $W$ est stable par $u$ , il est stable par tout $P (u)$ , et $P (u) (w) = P (u_{W}) (w)$ pour $w \in W$ . De plus, de $ξ \circ φ = φ \circ u_{W}$ on tire par récurrence $ξ^{k} \circ φ = φ \circ u_{W}^{k}$ (si c'est vrai au rang $k$ , $ξ^{k + 1} \circ φ = ξ \circ φ \circ u_{W}^{k} = φ \circ u_{W}^{k + 1}$ ), puis par combinaison linéaire

$P (ξ) \circ φ = φ \circ P (u_{W}) (P \in C [X]) . (*)$

Q6a. L'application $P \mapsto P (u) (v)$ est linéaire de $C [X]$ dans $V$ , et $I$ est l'image réciproque du sous-espace $W$ : c'est un sous-espace vectoriel, en particulier un sous-groupe additif contenant $0$ . Absorption : si $P \in I$ et $A \in C [X]$ , alors, $P \mapsto P (u)$ étant un morphisme d'algèbres,

$(A P) (u) (v) = A (u) (P (u) (v)) \in A (u) (W) \subset W,$

car $W$ est stable par $A (u)$ (lemme). Donc $A P \in I$ : $I$ est un idéal de $C [X]$ .

Q6b. L'endomorphisme $u$ est nilpotent : il existe $n \in N$ tel que $u^{n} = 0$ . Alors $X^{n} (u) (v) = u^{n} (v) = 0 \in W$ , donc $X^{n} \in I$ , et $I \neq = {0}$ .

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