Corrigé X-ENS 2025 Maths A MP — Partie IV (8a à 10) : Réduction de Jordan des nilpotents : existence et unicité des tailles de blocs

Sujet officiel du concours X-ENS, session 2025, épreuve Maths A MP. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Notations des parties I à III. $V$ est de dimension finie, $u \in L (V)$ est nilpotent d'indice $n$ ( $u^{n} = 0$ , $u^{n - 1} \neq = 0$ ), et $v_{0} \in V$ vérifie $u^{n - 1} (v_{0}) \neq = 0$ .

Q8a. Vérifier que $(v_{0}, u (v_{0}), \dots, u^{n - 1} (v_{0}))$ est libre, que le sous-espace $W$ qu'elle engendre contient $v_{0}$ et est stable par $u$ ; écrire la matrice de $u_{W}$ dans cette base.
Q8b. Montrer qu'il existe $φ : W \to D$ linéaire injective telle que $ξ \circ φ = φ \circ u_{W}$ . Par la partie III, $φ$ admet un prolongement $ψ : V \to D$ compatible avec $u$ .
Q8c. Vérifier que $Im ψ \subset ker ξ^{n}$ .
Q8d. Montrer que $ker ψ$ est un supplémentaire de $W$ stable par $u$ .
Q9. Pour $u$ nilpotent quelconque, montrer qu'il existe une base de $V$ , un entier $s$ et des entiers $r_{1} \geq \dots \geq r_{s} \geq 1$ tels que la matrice de $u$ soit $diag (J_{r_{1}}, \dots, J_{r_{s}})$ .
Q10. Montrer que $s$ et $r_{1}, \dots, r_{s}$ ne dépendent que de $u$ .

Corrigé

Q8a. Liberté. Soit $\sum_{k = 0}^{n - 1} a_{k} u^{k} (v_{0}) = 0$ et supposons les $a_{k}$ non tous nuls ; soit $k_{0}$ le plus petit indice tel que $a_{k_{0}} \neq = 0$ . Appliquons $u^{n - 1 - k_{0}}$ :

$0 = k = k_{0} \sum n - 1 a_{k} u^{n - 1 - k_{0} + k} (v_{0}) = a_{k_{0}} u^{n - 1} (v_{0}),$

car pour $k > k_{0}$ l'exposant $n - 1 - k_{0} + k$ est $\geq n$ et $u^{n} = 0$ . Comme $u^{n - 1} (v_{0}) \neq = 0$ , $a_{k_{0}} = 0$ : contradiction. La famille est libre.

Stabilité. $W$ contient $v_{0} = u^{0} (v_{0})$ . Pour $0 \leq k \leq n - 2$ , $u (u^{k} (v_{0})) = u^{k + 1} (v_{0}) \in W$ ; et $u (u^{n - 1} (v_{0})) = u^{n} (v_{0}) = 0 \in W$ . L'image d'une base de $W$ étant dans $W$ , $W$ est stable par $u$ .

Matrice. Dans la base $(v_{0}, \dots, u^{n - 1} (v_{0}))$ , chaque vecteur est envoyé sur le suivant, et le dernier sur $0$ : la matrice de $u_{W}$ est le bloc de Jordan $J_{n}$ .

Q8b. Définissons $φ$ linéaire sur la base de $W$ par

$φ (u^{k} (v_{0})) = X^{k - n} (0 \leq k \leq n - 1) .$

Elle envoie la base de $W$ sur la famille $(X^{- n}, \dots, X^{- 1})$ , libre (Q5, avec $r = n$ ) : $φ$ est injective. Vérifions $ξ \circ φ = φ \circ u_{W}$ sur la base (les deux membres sont linéaires) :

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