Corrigé X-ENS 2025 Maths A MP — Partie V (11a à 12e) : Relation h u h⁻¹ = ζu et supplémentaire stable par moyenne sur le groupe engendré par h

Sujet officiel du concours X-ENS, session 2025, épreuve Maths A MP. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

$V$ est de dimension finie, $u \in L (V)$ est nilpotent, $N \in N^{*}$ , $ζ = exp (2 i π / N)$ , et $h \in L (V)$ est inversible avec $h^{N} = id_{V}$ et $h \circ u \circ h^{- 1} = ζ u$ .

Q11a. Montrer que $h$ est diagonalisable.
Q11b. Pour $0 \leq j < N$ , avec $V_{j} = ker (h - ζ^{j} id_{V})$ et $V_{N} = V_{0}$ , vérifier que $u (V_{j}) \subset V_{j + 1}$ .
Q11c. Calculer $h^{k} \circ u \circ h^{- k}$ ( $k \in Z$ ) et $h \circ u^{l} \circ h^{- 1}$ ( $l \in N$ ).
Q12. Soit $W$ stable par $u$ et $h$ , admettant un supplémentaire $W^{'}$ stable par $u$ ; $p$ est le projecteur sur $W$ parallèlement à $W^{'}$ , et $p = \frac{1}{N} \sum_{k = 0}^{N - 1} h^{k} \circ p \circ h^{- k}$ .
Q12a. Vérifier que $u$ et $p$ commutent.
Q12b. Montrer que $Im p \subset W$ et que $p (w) = w$ pour $w \in W$ .
Q12c. En déduire que $p$ est un projecteur d'image $W$ .
Q12d. Montrer soigneusement que $p$ commute avec $u$ et $h$ .
Q12e. En déduire que $ker p$ est un supplémentaire de $W$ stable par $u$ et $h$ .

Corrigé

Q11a. Le polynôme $X^{N} - 1$ annule $h$ . Ses racines sont les $N$ racines $N$ -ièmes de l'unité $ζ^{j} = e^{2 i π j / N}$ , $0 \leq j \leq N - 1$ , deux à deux distinctes ; étant de degré $N$ , il est donc scindé à racines simples : $X^{N} - 1 = \prod_{j = 0}^{N - 1} (X - ζ^{j})$ . Par le critère algébrique de diagonalisabilité, $h$ est diagonalisable. De plus ses valeurs propres, racines de tout polynôme annulateur, sont parmi les $ζ^{j}$ :

$V = j = 0 ⨁ N - 1 V_{j} (certains V_{j} pouvant e ˆ tre nuls) .$

Q11b. La relation $h \circ u \circ h^{- 1} = ζ u$ s'écrit $h \circ u = ζ u \circ h$ . Pour $x \in V_{j}$ , $h (x) = ζ^{j} x$ , donc

$h (u (x)) = ζ u (h (x)) = ζ u (ζ^{j} x) = ζ^{j + 1} u (x) .$

Ainsi $u (x) \in ker (h - ζ^{j + 1} id_{V})$ . Pour $j \leq N - 2$ c'est $V_{j + 1}$ ; pour $j = N - 1$ , $ζ^{N} = 1 = ζ^{0}$ et c'est $V_{0} = V_{N}$ . Dans tous les cas $u (V_{j}) \subset V_{j + 1}$ .

Q11c. Exposants positifs. Par récurrence sur $k \in N$ : $h^{0} \circ u \circ h^{0} = u$ , et si $h^{k} \circ u \circ h^{- k} = ζ^{k} u$ , alors

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