Corrigé X-ENS 2025 Maths A MP — Partie V (13a à 14c) : Version graduée de la décomposition de Jordan et exemple N = 4 : six types de blocs

Q13a. Ici $V\ne \{0\}$ (sinon $u^{n-1}\ne 0$ est impossible). D'après Q11a, $V={⨁}_{j=0}^{N-1}{V}_j$. Comme $u^{n-1}\ne 0$, il existe $x\in V$ avec $u^{n-1}(x)\ne 0$ ; écrivons $x={\sum }_{j=0}^{N-1}{x}_j$ avec $x_j\in V_j$. Par linéarité, $u^{n-1}(x)={\sum }_j{u}^{n-1}(x_j)\ne 0$, donc l'un des termes est non nul : il existe $a$ avec $u^{n-1}(x_a)\ne 0$. Alors $v=x_a$ est non nul (son image est non nulle) et appartient à $V_a$ : c'est un vecteur propre de $h$ (valeur propre ${\zeta }^a$) tel que $u^{n-1}(v)\ne 0$.

Q13b. Récurrence forte sur $d=\dim V$, l'énoncé portant sur tous les couples $(u,h)$ vérifiant les hypothèses de la partie V (pour le $N$ fixé). Si $d=0$, la base vide convient. Soit $d\ge 1$ et supposons l'énoncé vrai en dimension $<d$. L'indice $n$ de $u$ vérifie $n\ge 1$ ; soit $v$ donné par Q13a, $h(v)={\zeta }^{a}v$ avec $a\in \{0,\dots ,N-1\}$, et $u^{n-1}(v)\ne 0$.

Le bloc cyclique. D'après Q8a, ${\mathcal{B}}_1=(v,u(v),\dots ,u^{n-1}(v))$ est libre, $W=\mathrm{Vect}{\mathcal{B}}_1$ est stable par $u$ et la matrice de $u_W$ dans ${\mathcal{B}}_1$ est $J_n$. D'après Q11c, $h\circ u^k={\zeta }^k{u}^k\circ h$, donc

$$h(u^k(v))={\zeta }^k{u}^k(h(v))={\zeta }^{a+k}{u}^k(v)(0\le k\le n-1).$$

Ainsi $W$ est stable par $h$ et la matrice de $h_W$ dans ${\mathcal{B}}_1$ est $\mathrm{diag}({\zeta }^a,\dots ,{\zeta }^{a+n-1})=D_{n,a}$ : le couple $(u_W,h_W)$ est de type $(n,a)$.

Un supplémentaire stable par $u$ et $h$. Le vecteur $v$ vérifie $u^{n-1}(v)\ne 0$ avec $n$ l'indice de $u$ : la question 8 (avec $v_0=v$) fournit un supplémentaire $\ker \psi$ de $W$ stable par $u$. Le sous-espace $W$ étant stable par $u$ et $h$, la question 12 fournit alors un supplémentaire $V^{\prime }=\ker \overline{p}$ de $W$ stable par $u$ et $h$.