Corrigé X-ENS 2025 Maths A MP — Partie VI (15 à 18b) : Classification des couples de matrices rectangulaires à équivalence simultanée près

Q15. Rappel. Pour deux bases $\mathbf{b},{\mathbf{b}}^{\prime }$, notons $P_{\mathbf{b},{\mathbf{b}}^{\prime }}$ la matrice de passage de $\mathbf{b}$ à ${\mathbf{b}}^{\prime }$ (colonnes : coordonnées de ${\mathbf{b}}^{\prime }$ dans $\mathbf{b}$), inversible. La formule de changement de bases s'écrit ${\mathrm{Mat}}_{{\mathbf{e}}^{\prime },{\mathbf{f}}^{\prime }}(\alpha )=P_{\mathbf{f},{\mathbf{f}}^{\prime }}^{-1}{\mathrm{Mat}}_{\mathbf{e},\mathbf{f}}(\alpha )P_{\mathbf{e},{\mathbf{e}}^{\prime }}$.

(i) $\Rightarrow$ (ii). Posons $P=P_{\mathbf{e},{\mathbf{e}}^{\prime }}^{-1}\in G{L}_m(\mathbb{C})$ et $Q=P_{\mathbf{f},{\mathbf{f}}^{\prime }}^{-1}\in G{L}_n(\mathbb{C})$. La formule donne $A^{\prime }=QA{P}^{-1}$ et, pour $\beta$ (de ${\mathbb{C}}^n$ dans ${\mathbb{C}}^m$), $B^{\prime }=P_{\mathbf{e},{\mathbf{e}}^{\prime }}^{-1}B{P}_{\mathbf{f},{\mathbf{f}}^{\prime }}=PB{Q}^{-1}$.

(ii) $\Rightarrow$ (i). Soient $\alpha$, $\beta$ les applications canoniquement associées à $A$ et $B$, et $\mathbf{e},\mathbf{f}$ les bases canoniques, de sorte que $A={\mathrm{Mat}}_{\mathbf{e},\mathbf{f}}(\alpha )$, $B={\mathrm{Mat}}_{\mathbf{f},\mathbf{e}}(\beta )$. Soit ${\mathbf{e}}^{\prime }$ la base de ${\mathbb{C}}^m$ formée des colonnes de $P^{-1}$ et ${\mathbf{f}}^{\prime }$ celle de ${\mathbb{C}}^n$ formée des colonnes de $Q^{-1}$ (matrices inversibles), de sorte que $P_{\mathbf{e},{\mathbf{e}}^{\prime }}=P^{-1}$, $P_{\mathbf{f},{\mathbf{f}}^{\prime }}=Q^{-1}$. La formule donne ${\mathrm{Mat}}_{{\mathbf{e}}^{\prime },{\mathbf{f}}^{\prime }}(\alpha )=QA{P}^{-1}=A^{\prime }$ et ${\mathrm{Mat}}_{{\mathbf{f}}^{\prime },{\mathbf{e}}^{\prime }}(\beta )=PB{Q}^{-1}=B^{\prime }$.

(ii) $\Rightarrow$ (iii). Soit $R=\mathrm{diag}(P,Q)$, inversible d'inverse $\mathrm{diag}(P^{-1},Q^{-1})$. Par calcul par blocs,

$$R{M}_{A,B}{R}^{-1}=\left(\begin{array}{cc}0& PB\\ QA& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}{P}^{-1}& 0\\ 0& Q^{-1}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0& PB{Q}^{-1}\\ QA{P}^{-1}& 0\end{array}\right)=M_{A^{\prime },B^{\prime }},$$

et $RH{R}^{-1}=\mathrm{diag}(P{P}^{-1},-Q{Q}^{-1})=H$.

(iii) $\Rightarrow$ (ii). Écrivons $R=\left(\begin{array}{cc}{R}_1& R_2\\ R_3& R_4\end{array}\right)$ par blocs de tailles $m$ et $n$. L'égalité $RH=HR$ s'écrit

$$\left(\begin{array}{cc}{R}_1& -R_2\\ R_3& -R_4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{R}_1& R_2\\ -R_3& -R_4\end{array}\right),$$

d'où $R_2=0$ et $R_3=0$ : $R=\mathrm{diag}(P,Q)$ avec $P=R_1$, $Q=R_4$, et $\det R=\det P\det Q\ne 0$, donc $P\in G{L}_m(\mathbb{C})$, $Q\in G{L}_n(\mathbb{C})$. Le calcul précédent donne $R{M}_{A,B}{R}^{-1}=M_{QA{P}^{-1},PB{Q}^{-1}}$ ; l'égalité avec $M_{A^{\prime },B^{\prime }}$, lue bloc par bloc, donne $A^{\prime }=QA{P}^{-1}$ et $B^{\prime }=PB{Q}^{-1}$.

Q16a. $H^2=\mathrm{diag}(I_m^2,(-I_n{)}^2)=I_{m+n}$, donc $H^{-1}=H$, et

$$\begin{array}{rl}HM{H}^{-1}=HMH& =\left(\begin{array}{cc}{I}_m& 0\\ 0& -I_n\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}0& B\\ A& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}{I}_m& 0\\ 0& -I_n\end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{cc}0& B\\ -A& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}{I}_m& 0\\ 0& -I_n\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0& -B\\ -A& 0\end{array}\right)=-M.\end{array}$$

L'application $X\mapsto HX{H}^{-1}$ est un morphisme d'algèbres ($HXY{H}^{-1}=HX{H}^{-1}HY{H}^{-1}$), donc $H{M}^k{H}^{-1}=(HM{H}^{-1}{)}^k=(-M{)}^k$ et, par linéarité, $HP(M)H^{-1}=P(-M)$.

Q16b. D'après Q16a, $M$ et $-M$ sont semblables, donc ont le même polynôme caractéristique. Avec $p=m+n$ :

$${\chi }_M(X)={\chi }_{-M}(X)=\det (X{I}_p+M)=(-1{)}^p\det (-X{I}_p-M)=(-1{)}^p{\chi }_M(-X).$$

Soit $\lambda$ valeur propre de multiplicité $\mu$ : ${\chi }_M=(X-\lambda {)}^{\mu }S$ avec $S(\lambda )\ne 0$. Alors

$${\chi }_M(X)=(-1{)}^p(-X-\lambda {)}^{\mu }S(-X)=(-1{)}^{p+\mu }(X+\lambda {)}^{\mu }S(-X),$$