Corrigé X-ENS 2025 Maths PC — Cinquième partie (24 à 27) : Valeur propre nulle multiple : inversibilité de B − εI, comparaison des traces des inverses, μm > ε

Q24. Les valeurs propres de $A$ sont $0$ (pour les indices $k⩽m$) et les ${\lambda }_k⩾{\lambda }_{m+1}>\epsilon$ (pour $k⩾m+1$). Comme $0<\epsilon <{\lambda }_{m+1}$, le réel $\epsilon$ n'est pas valeur propre de $A$, c'est-à-dire $\mathrm{Ker}(A-\epsilon I_n)=\{0\}$ : la matrice carrée $A-\epsilon I_n$ est inversible.

Q25. Posons $A_{\epsilon }=A-\epsilon I_n$, inversible d'après Q24. Alors $B-\epsilon I_n=A_{\epsilon }+\mathbf{u}{\mathbf{u}}^T$. D'après Q10 (appliquée à $A_{\epsilon }$ et aux vecteurs $\mathbf{u},\mathbf{u}$), cette matrice est inversible si et seulement si $⟨\mathbf{u},A_{\epsilon }^{-1}\mathbf{u}⟩\ne -1$ ; c'est le cas, puisque par hypothèse $⟨\mathbf{u},A_{\epsilon }^{-1}\mathbf{u}⟩<-1$.

Q26. Posons $s=1+⟨\mathbf{u},A_{\epsilon }^{-1}\mathbf{u}⟩$ : l'hypothèse dit exactement $s<0$. D'après Q11 (formule de Sherman-Morrison, appliquée à $A_{\epsilon }$ inversible et à $A_{\epsilon }+\mathbf{u}{\mathbf{u}}^T$ inversible par Q25 ; c'est elle que le rapport du jury désigne par « question 4 »),