X-ENS 2025 — Maths PC : sujet et corrigé

6 parties corrigées, avec un corrigé rédigé · filière PC.

• Cinquième partie (24 à 27) — Valeur propre nulle multiple : inversibilité de B − εI, comparaison des traces des inverses, μm > ε
• Deuxième partie (7 à 12) — Déterminant de A + uv^T par blocs, critère d'inversibilité et formule de Sherman-Morrison
• Première partie (1 à 6) — Matrices de rang 1 : écriture uv^T, trace, diagonalisabilité, projecteurs orthogonaux de rang 1
• Quatrième partie (20 à 23) — Perturbation aléatoire uniforme sur une base orthonormée : espérance du polynôme caractéristique
• Troisième partie (13 à 17) — Décomposition spectrale d'une matrice symétrique, résolvante et polynôme caractéristique de A + uu^T
• Troisième partie (18a à 19c) — Spectre de la perturbée : valeurs propres conservées et entrelacement strict des valeurs propres