Corrigé X-ENS 2025 Maths PC — Première partie (1 à 6) : Matrices de rang 1 : écriture uv^T, trace, diagonalisabilité, projecteurs orthogonaux de rang 1

Sujet officiel du concours X-ENS, session 2025, épreuve Maths PC. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Les vecteurs de $R^{n}$ (en gras) sont identifiés aux matrices colonnes de $M_{n, 1} (R)$ ; $A^{T}$ est la transposée de $A$ ; pour $x, y \in R^{n}$ , le réel $x^{T} y = \sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i}$ est le produit scalaire usuel $⟨ x, y ⟩$ , et $∥ x ∥ = ⟨ x, x ⟩$ . On note $I_{n}$ la matrice identité, $S_{n} (R)$ les matrices symétriques.

Q1. Pour $u, v \in R^{n} ∖ {0}$ , montrer que $M = u v^{T}$ est carrée de taille $n$ et de rang $1$ .
Q2. Rang de la matrice $J \in M_{n} (R)$ dont tous les coefficients valent $1$ .
Q3. Si $K \in M_{n} (R)$ est de rang $1$ , montrer que $K = u v^{T}$ avec $u, v$ non nuls.
Q4. Pour $u, v, x, y$ non nuls : $u v^{T} = x y^{T}$ si et seulement si $u = λ x$ et $v = \frac{1}{λ} y$ pour un $λ \neq = 0$ .
Q5. $K = u v^{T}$ est de rang $1$ . (a) $Tr (K) = ⟨ v, u ⟩$ . (b) $K^{2} = Tr (K) K$ . (c) $K$ est diagonalisable si et seulement si $Tr (K) \neq = 0$ .
Q6. $P \in M_{n} (R)$ est un projecteur orthogonal de rang $1$ si et seulement si $P = y y^{T}$ avec $∥ y ∥ = 1$ .

Corrigé

Dans tout le corrigé, une matrice $1 \times 1$ est identifiée à son unique coefficient ; en particulier $v^{T} u = ⟨ v, u ⟩$ est un scalaire, qui commute donc avec toute matrice. C'est la clé de presque tous les calculs du problème.

Q1. Le produit d'une matrice $n \times 1$ par une matrice $1 \times n$ est une matrice $n \times n$ : $M$ est carrée de taille $n$ , de coefficients $M_{ij} = u_{i} v_{j}$ .

Image de $M$ . Pour $x \in R^{n}$ , par associativité du produit matriciel,

$M x = u (v^{T} x) = ⟨ v, x ⟩ u,$

donc $Im M \subset Vect (u)$ . Inversement, $M v = ∥ v ∥^{2} u$ avec $∥ v ∥^{2} > 0$ (car $v \neq = 0$ ), donc $u = M (∥ v ∥^{- 2} v) \in Im M$ . Ainsi $Im M = Vect (u)$ , droite vectorielle puisque $u \neq = 0$ : $rg M = 1$ .

Q2. Soit $e = (1, \dots, 1)^{T} \in R^{n}$ . Le coefficient $(i, j)$ de $e e^{T}$ vaut $1 \times 1 = 1$ , donc $J = e e^{T}$ . Comme $e \neq = 0$ , la question Q1 (avec $u = v = e$ ) donne $rg J = 1$ .

Q3. Comme $rg K = 1$ , $Im K$ est une droite : $Im K = Vect (u)$ pour un $u \neq = 0$ (par exemple une colonne non nulle de $K$ ). Notons $(e_{1}, \dots, e_{n})$ la base canonique. Pour chaque $j$ , la $j$ -ième colonne $K e_{j}$ appartient à $Im K$ , donc il existe un réel $v_{j}$ (unique, car $u \neq = 0$ ) tel que $K e_{j} = v_{j} u$ . Posons $v = (v_{1}, \dots, v_{n})^{T}$ .

Vérification. La $j$ -ième colonne de $u v^{T}$ est $u v^{T} e_{j} = v_{j} u = K e_{j}$ : les deux matrices ont les mêmes colonnes, donc $K = u v^{T}$ .

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