Corrigé X-ENS 2025 Maths PC — Troisième partie (18a à 19c) : Spectre de la perturbée : valeurs propres conservées et entrelacement strict des valeurs propres

Mêmes notations : $A\in {\mathcal{S}}_n(\mathbb{R})$, $\Vert \mathbf{u}\Vert =1$, $B=A+\mathbf{u}{\mathbf{u}}^T$, valeurs propres ${\lambda }_1⩽\cdots ⩽{\lambda }_n$ de $A$ et base orthonormée $({\mathbf{w}}_k)$ de vecteurs propres associés. On pose $J=\{k\in \{1,\dots ,n\}:⟨{\mathbf{w}}_k,\mathbf{u}⟩\ne 0\}$.

Q18. (a) Montrer que $J\ne \varnothing$. (b) Si $\ell \notin J$, ${\lambda }_{\ell }$ est valeur propre de $B$. (c) Si $J=\{j\}$, les valeurs propres de $B$ sont ${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_{j-1},{\lambda }_j+1,{\lambda }_{j+1},\dots ,{\lambda }_n$.
Q19. On suppose ${\lambda }_1<\cdots <{\lambda }_n$ et $J=\{1,\dots ,n\}$, et l'on pose $f(x)={\sum }_{k=1}^n\frac{⟨{\mathbf{w}}_k,\mathbf{u}{⟩}^2}{x-{\lambda }_k}$ pour $x\notin \{{\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n\}$. (a) $f$ est de classe ${\mathcal{C}}^{\infty }$ ; calculer $f^{\prime }$. (b) L'équation $f(x)=1$ a une unique solution dans chaque $\left]{\lambda }_{\ell },{\lambda }_{\ell +1}\right[$ ($1⩽\ell ⩽n-1$) et dans $\left]{\lambda }_n,+\infty \right[$. (c) Si ${\mu }_1⩽\cdots ⩽{\mu }_n$ sont les valeurs propres de $B$, alors ${\lambda }_1<{\mu }_1<{\lambda }_2<{\mu }_2<\cdots <{\lambda }_n<{\mu }_n$.