Corrigé X-ENS 2025 Maths PC — Troisième partie (13 à 17) : Décomposition spectrale d'une matrice symétrique, résolvante et polynôme caractéristique de A + uu^T

Désormais $A\in {\mathcal{S}}_n(\mathbb{R})$, $\mathbf{u}\in {\mathbb{R}}^n$ avec $\Vert \mathbf{u}\Vert =1$, et $B=A+\mathbf{u}{\mathbf{u}}^T$. On admet : si $({\mathbf{v}}_1,\dots ,{\mathbf{v}}_n)$ est une base orthonormée, deux matrices $M,N$ sont égales si et seulement si $M{\mathbf{v}}_k=N{\mathbf{v}}_k$ pour tout $k$. Par le théorème spectral, ${\lambda }_1⩽\cdots ⩽{\lambda }_n$ sont les valeurs propres de $A$ et $({\mathbf{w}}_1,\dots ,{\mathbf{w}}_n)$ une base orthonormée de vecteurs propres associés ; ${\chi }_A(x)=\det (x{I}_n-A)$, ${\chi }_B(x)=\det (x{I}_n-B)$.

Q13. Montrer que $B\in {\mathcal{S}}_n(\mathbb{R})$.
Q14. Pour toute base orthonormée, $I_n={\sum }_{k=1}^n{\mathbf{v}}_k{\mathbf{v}}_k^T$.
Q15. (a) $A={\sum }_{k=1}^n{\lambda }_k{\mathbf{w}}_k{\mathbf{w}}_k^T$. (b) Pour $x\notin \{{\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n\}$, $(x{I}_n-A{)}^{-1}={\sum }_{k=1}^n\frac{1}{x-{\lambda }_k}{\mathbf{w}}_k{\mathbf{w}}_k^T$.
Q16. $\lambda$ est valeur propre de $A$ de multiplicité $m⩾2$ et $E=\mathrm{Ker}(A-\lambda I_n)$. (a) $\dim (E\cap \{\mathbf{u}{\}}^{\perp })⩾m-1$. (b) $\lambda$ est valeur propre de $B$ de multiplicité au moins $m-1$.
Q17. Pour $x\notin \{{\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n\}$, ${\chi }_B(x)={\chi }_A(x)(1-{\sum }_{k=1}^n\frac{⟨{\mathbf{w}}_k,\mathbf{u}{⟩}^2}{x-{\lambda }_k})$.