Corrigé X-ENS 2025 Maths PC — Quatrième partie (20 à 23) : Perturbation aléatoire uniforme sur une base orthonormée : espérance du polynôme caractéristique

$A\in {\mathcal{S}}_n(\mathbb{R})$ a pour valeurs propres ${\lambda }_1⩽\cdots ⩽{\lambda }_n$, et ${\chi }_A(x)=\det (x{I}_n-A)$. On fixe une base orthonormée $({\mathbf{u}}_1,\dots ,{\mathbf{u}}_n)$ et une variable aléatoire $\mathbf{U}$ de loi uniforme sur $\{{\mathbf{u}}_1,\dots ,{\mathbf{u}}_n\}$. La matrice aléatoire $B=A+\mathbf{U}{\mathbf{U}}^T$ définit, pour chaque réel $x$, la variable aléatoire réelle ${\chi }_B(x)=\det (x{I}_n-B)$.

Q20. Pour tout $\mathbf{w}\in {\mathbb{R}}^n$, $E[⟨\mathbf{U},\mathbf{w}{⟩}^2]=\frac{1}{n}\Vert \mathbf{w}{\Vert }^2$.
Q21. Pour $x\notin \{{\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n\}$, ${\chi }_B(x)$ est d'espérance finie et $E[{\chi }_B(x)]={\chi }_A(x)-\frac{1}{n}{\chi }_A^{\prime }(x)$.
Q22. Pour tout $k$, $E[{\chi }_B({\lambda }_k)]=-\frac{1}{n}{\chi }_A^{\prime }({\lambda }_k)$.
Q23. Il existe $x\in \mathbb{R}$ tel que $E[{\chi }_B(x)]\ne 0$.