Corrigé X-ENS 2025 Maths PC — Deuxième partie (7 à 12) : Déterminant de A + uv^T par blocs, critère d'inversibilité et formule de Sherman-Morrison

Q7. Notons $L$, $M$, $R$ les trois matrices, de taille $n+1$, découpées en blocs de tailles $n$ et $1$ ; les produits par blocs sont licites car les découpages sont compatibles. On rappelle que ${\mathbf{v}}^T\mathbf{u}=⟨\mathbf{v},\mathbf{u}⟩$ est un scalaire. D'abord

$$LM=\left(\begin{array}{cc}{I}_n+\mathbf{u}{\mathbf{v}}^T& \mathbf{u}\\ {\mathbf{v}}^T(I_n+\mathbf{u}{\mathbf{v}}^T)& {\mathbf{v}}^T\mathbf{u}+1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{I}_n+\mathbf{u}{\mathbf{v}}^T& \mathbf{u}\\ (1+⟨\mathbf{v},\mathbf{u}⟩){\mathbf{v}}^T& 1+⟨\mathbf{v},\mathbf{u}⟩\end{array}\right),$$

car ${\mathbf{v}}^T\mathbf{u}{\mathbf{v}}^T=⟨\mathbf{v},\mathbf{u}⟩{\mathbf{v}}^T$. Puis, en multipliant à droite par $R$ :

• bloc $(1,1)$ : $(I_n+\mathbf{u}{\mathbf{v}}^T)I_n+\mathbf{u}(-{\mathbf{v}}^T)=I_n$ ;
• bloc $(1,2)$ : $(I_n+\mathbf{u}{\mathbf{v}}^T)0+\mathbf{u}\times 1=\mathbf{u}$ ;
• bloc $(2,1)$ : $(1+⟨\mathbf{v},\mathbf{u}⟩){\mathbf{v}}^T+(1+⟨\mathbf{v},\mathbf{u}⟩)(-{\mathbf{v}}^T)=0$ ;
• bloc $(2,2)$ : $(1+⟨\mathbf{v},\mathbf{u}⟩){\mathbf{v}}^{T}0+(1+⟨\mathbf{v},\mathbf{u}⟩)\times 1=1+⟨\mathbf{v},\mathbf{u}⟩$.