Corrigé X-ENS 2025 Maths PSI — Partie I (Q1.a à Q2.c) : Préliminaires : existence d'un minimiseur, monotonie de la distance au minimiseur

Notations du sujet : $\mathcal{C}(\mathbb{R})$ désigne les fonctions continues de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$, ${\mathcal{C}}^1(\mathbb{R})$ celles de classe ${\mathcal{C}}^1$ ; $g$ est $L$-lipschitzienne ($L>0$) si $|g(x)-g(y)|\le L|x-y|$ pour tous $x,y$. La convexité de $f$ est l'inégalité (1) : $f((1-t)x+ty)\le (1-t)f(x)+tf(y)$ pour $x,y\in \mathbb{R}$, $t\in [0,1]$ ; on admet qu'une $f\in {\mathcal{C}}^1(\mathbb{R})$ est convexe si et seulement si $f^{\prime }$ est croissante. Dans les parties I à III, $x_{n+1}=x_n-\tau f^{\prime }(x_n)$ (relation (2)), avec $x_0\in \mathbb{R}$, $\tau >0$ et $f\in {\mathcal{C}}^1(\mathbb{R})$.

Q1. $f\in \mathcal{C}(\mathbb{R})$ tend vers $+\infty$ en $-\infty$ et en $+\infty$ (hypothèse (3)).
Q1.a. Montrer que $\{x\in \mathbb{R}\mid f(x)\le f(0)\}$ est fermé et borné.
Q1.b. En déduire l'existence de $x_{\ast }$ tel que $f(x_{\ast })={\min }_{\mathbb{R}}f$.

Q2. $f\in {\mathcal{C}}^1(\mathbb{R})$ est convexe et $f^{\prime }$ est $L$-lipschitzienne.
Q2.a. Montrer que $|f^{\prime }(x)-f^{\prime }(y){|}^2\le L(x-y)(f^{\prime }(x)-f^{\prime }(y))$.
Q2.b. Avec $\tilde{x}=x-\tau f^{\prime }(x)$ et $\tilde{y}=y-\tau f^{\prime }(y)$, montrer que $|\tilde{x}-\tilde{y}{|}^2\le |x-y{|}^2-\tau (2-\tau L)(x-y)(f^{\prime }(x)-f^{\prime }(y))$.
Q2.c. Si $f$ admet un minimiseur $x_{\ast }$ et $0<\tau \le 2/L$, montrer que $(|x_n-x_{\ast }|{)}_n$ est décroissante.