X-ENS 2025 — Maths PSI : sujet et corrigé

8 parties corrigées, avec un corrigé rédigé · filière PSI.

• Partie I (Q1.a à Q2.c) — Préliminaires : existence d'un minimiseur, monotonie de la distance au minimiseur
• Partie II (Q3.a à Q8) — Descente de gradient pour une fonction α-convexe : convergence géométrique
• Partie III (1) (Q9 à Q12.c) — Un exemple à minimiseurs multiples, inégalité de la tangente et lemme de descente
• Partie III (2) (Q13 à Q18.c) — Convergence en valeur en O(1/n), puis convergence des itérées vers un minimiseur
• Partie IV (1) (Q19 à Q24) — Opérateur proximal, seuillage doux et descente de gradient proximale
• Partie IV (2) (Q25 à Q30) — L'opérateur proximal est 1-lipschitzien ; convergence de l'algorithme proximal
• Partie V (1) (Q31 à Q35) — Minimum sur la boule unité : conditions d'optimalité, forme quadratique négative
• Partie V (2) (Q36.a à Q38) — Descente de gradient projetée : puissance itérée et vecteur propre dominant