Corrigé X-ENS 2025 Maths PSI — Partie V (1) (Q31 à Q35) : Minimum sur la boule unité : conditions d'optimalité, forme quadratique négative

Q31. La boule unité fermée $C$ est une partie fermée (image réciproque du fermé $[0,1]$ par la norme, qui est continue) et bornée de ${\mathbb{R}}^d$, espace de dimension finie : c'est un compact (caractérisation des compacts en dimension finie), non vide puisque $0\in C$. La fonction $f$, de classe ${\mathcal{C}}^1$ donc continue, est bornée et atteint ses bornes sur ce compact (théorème des bornes atteintes) : il existe $x_{\ast }\in C$ tel que $f(x_{\ast })={\min }_{C}f$.

Q32. Posons $r=1-\Vert x_{\ast }\Vert >0$. Pour $\Vert y-x_{\ast }\Vert <r$, l'inégalité triangulaire donne $\Vert y\Vert <\Vert x_{\ast }\Vert +r=1$, donc $y\in C$ : la boule ouverte $B(x_{\ast },r)$ est contenue dans $C$, et $f(y)\ge f(x_{\ast })$ pour tout $y\in B(x_{\ast },r)$.

Soit $h\in {\mathbb{R}}^d$ non nul. Pour $|t|<r/\Vert h\Vert$, $x_{\ast }+th\in B(x_{\ast },r)$, donc $f(x_{\ast }+th)\ge f(x_{\ast })$. Comme $f$ est de classe ${\mathcal{C}}^1$, elle est différentiable en $x_{\ast }$ et admet le développement limité

$$f(x_{\ast }+th)=f(x_{\ast })+t⟨\nabla f(x_{\ast }),h⟩+o(t)(t\to 0).$$

Ainsi $t⟨\nabla f(x_{\ast }),h⟩+o(t)\ge 0$ pour $|t|$ petit. En divisant par $t>0$ et en faisant $t\to 0^{+}$, on obtient $⟨\nabla f(x_{\ast }),h⟩\ge 0$ ; en divisant par $t<0$ (ce qui renverse l'inégalité) et en faisant $t\to 0^{-}$, $⟨\nabla f(x_{\ast }),h⟩\le 0$. Donc $⟨\nabla f(x_{\ast }),h⟩=0$ pour tout $h$ (y compris $h=0$), et le choix $h=\nabla f(x_{\ast })$ donne $\Vert \nabla f(x_{\ast }){\Vert }^2=0$, soit $\nabla f(x_{\ast })=0$.