Corrigé X-ENS 2025 Maths PSI — Partie V (2) (Q36.a à Q38) : Descente de gradient projetée : puissance itérée et vecteur propre dominant

Sujet officiel du concours X-ENS, session 2025, épreuve Maths PSI. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Notations de Q31 à Q35 : $C$ est la boule unité fermée de $R^{d}$ , $M$ est symétrique réelle, non nulle, positive, et $f (x) = - \frac{1}{2} ⟨ x, M x ⟩$ ; le pas $τ > 0$ est celui des notations générales du sujet (l'en-tête de la partie V ne le redit pas). On pose $P_{C} (x) = x$ si $∥ x ∥ \leq 1$ , $P_{C} (x) = x /∥ x ∥$ sinon, et, pour $x_{0} \in R^{d}$ , $x_{n + 1} = P_{C} (x_{n} - τ \nabla f (x_{n}))$ (descente de gradient projetée).

Q36. On suppose $∥ x_{0} ∥ \geq 1$ .
Q36.a. Montrer que $x_{n} = \frac{( I _{d} + τ M ) ^{n} x _{0}}{∥ ( I _{d} + τ M ) ^{n} x _{0} ∥}$ pour tout $n \geq 1$ .
Q36.b. Calculer $lim x_{n}$ . (Indication : $x_{0} = \sum_{i} α_{i} e_{i}$ dans une base orthonormée $(e_{i})$ de vecteurs propres, $M e_{i} = λ_{i} e_{i}$ ; $I = {i ∣ α_{i} \neq = 0}$ , $λ = max_{i \in I} λ_{i}$ , $I^{'} = {i \in I ∣ λ_{i} = λ}$ , $x_{0}^{'} = \sum_{i \in I^{'}} α_{i} e_{i}$ .)
Q37. Comment la suite se comporte-t-elle lorsque $∥ x_{0} ∥ < 1$ ?
Q38. Montrer qu'il existe un hyperplan $H$ de $R^{d}$ tel que $lim f (x_{n}) = min_{C} f$ pour tout $x_{0} \in / H$ .

Corrigé

Préliminaires. D'après Q34, $x_{n} - τ \nabla f (x_{n}) = x_{n} + τ M x_{n} = A x_{n}$ , où $A = I_{d} + τ M$ . Fixons, par le théorème spectral, une base orthonormée $(e_{1}, \dots, e_{d})$ de vecteurs propres de $M$ , $M e_{i} = λ_{i} e_{i}$ , avec $λ_{i} = ⟨ e_{i}, M e_{i} ⟩ \geq 0$ ; alors $A e_{i} = (1 + τ λ_{i}) e_{i}$ avec $1 + τ λ_{i} \geq 1$ . Pour $z = \sum_{i} z_{i} e_{i}$ :

$∥ A z ∥^{2} = i \sum (1 + τ λ_{i})^{2} z_{i}^{2} \geq i \sum z_{i}^{2} = ∥ z ∥^{2} .$

Ainsi $∥ A z ∥ \geq ∥ z ∥$ pour tout $z$ , et $A$ est inversible (ses valeurs propres sont non nulles). Enfin, si $∥ z ∥ \geq 1$ , alors $P_{C} (z) = z /∥ z ∥$ : c'est la définition si $∥ z ∥ > 1$ , et si $∥ z ∥ = 1$ , $P_{C} (z) = z = z /∥ z ∥$ .

Q36.a. Comme $∥ x_{0} ∥ \geq 1$ , $x_{0} \neq = 0$ et $A^{n} x_{0} \neq = 0$ pour tout $n$ ( $A$ inversible). Montrons par récurrence sur $n \geq 1$ que $x_{n} = A^{n} x_{0} /∥ A^{n} x_{0} ∥$ .

$n = 1$ : $∥ A x_{0} ∥ \geq ∥ x_{0} ∥ \geq 1$ , donc $x_{1} = P_{C} (A x_{0}) = A x_{0} /∥ A x_{0} ∥$ .
Hérédité : si $x_{n} = A^{n} x_{0} /∥ A^{n} x_{0} ∥$ , alors $∥ x_{n} ∥ = 1$ , $∥ A x_{n} ∥ \geq 1$ , et

$x_{n + 1} = P_{C} (A x_{n}) = \frac{A x _{n}}{∥ A x _{n} ∥} = \frac{A ^{n + 1} x _{0} /∥ A ^{n} x _{0} ∥}{∥ A ^{n + 1} x _{0} ∥/∥ A ^{n} x _{0} ∥} = \frac{A ^{n + 1} x _{0}}{∥ A ^{n + 1} x _{0} ∥} .$

D'où la formule pour tout $n \in N ∖ {0}$ : c'est la méthode de la puissance itérée pour la matrice $I_{d} + τ M$ .

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