Corrigé X-ENS 2025 Maths PSI — Partie II (Q3.a à Q8) : Descente de gradient pour une fonction α-convexe : convergence géométrique

Sujet officiel du concours X-ENS, session 2025, épreuve Maths PSI. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

La suite $(x_{n})$ est toujours définie par $x_{n + 1} = x_{n} - τ f^{'} (x_{n})$ (relation (2)), avec $τ > 0$ .

Q3. Ici seulement, $f (x) = \frac{1}{2} L x^{2}$ avec $L > 0$ .
Q3.a. Montrer que $x_{n + 1} = (1 - τ L) x_{n}$ et exprimer $x_{n}$ en fonction de $x_{0}$ et $n$ .
Q3.b. Pour $x_{0} \neq = 0$ , justifier que $x_{n} \to 0$ si et seulement si $0 < τ < 2/ L$ .

Hypothèses de la suite : $f \in C^{1} (R)$ , $f^{'}$ est $L$ -lipschitzienne, $0 < τ \leq 2/ L$ , et $f$ est $α$ -convexe avec $α > 0$ : $g (x) = f (x) - \frac{1}{2} α x^{2}$ est convexe (hypothèse (4)).

Q4. Justifier que $x \mapsto f^{'} (x) - α x$ est croissante ; en déduire $α \leq L$ .
Q5. Montrer que $f (x) \geq f (0) + f^{'} (0) x + α x^{2} /2$ pour tout $x$ ; en déduire que $f$ admet un minimiseur $x_{*}$ .
Q6. Montrer que $α ∣ x - y ∣^{2} \leq (f^{'} (x) - f^{'} (y)) (x - y)$ pour tous $x, y$ .
Q7. Avec $x ~ = x - τ f^{'} (x)$ et $y ~ = y - τ f^{'} (y)$ , en déduire $∣ x ~ - y ~ ∣^{2} \leq ∣ x - y ∣^{2} (1 - α τ (2 - Lτ))$ .
Q8. Pour $0 < τ < 2/ L$ , montrer que $∣ x_{n} - x_{*} ∣ \leq ρ^{n} ∣ x_{0} - x_{*} ∣$ pour une constante $ρ \in [0, 1 [$ à préciser.

Corrigé

Q3.a. $f$ est polynomiale, de dérivée $f^{'} (x) = Lx$ . La relation (2) s'écrit donc

$x_{n + 1} = x_{n} - τ L x_{n} = (1 - τ L) x_{n} (n \in N) .$

La suite $(x_{n})$ est géométrique de raison $q = 1 - τ L$ ; une récurrence immédiate donne

$\forall n \in N, x_{n} = (1 - τ L)^{n} x_{0} .$

Q3.b. Comme $x_{0} \neq = 0$ , $x_{n} \to 0$ si et seulement si $q^{n} \to 0$ . Or une suite géométrique $(q^{n})$ tend vers $0$ si et seulement si $∣ q ∣ < 1$ : si $∣ q ∣ < 1$ , $∣ q ∣^{n} \to 0$ ; si $∣ q ∣ \geq 1$ , $∣ q^{n} ∣ \geq 1$ pour tout $n$ et $q^{n} \neq \to 0$ . Ainsi

$x_{n} \to 0 ⟺ ∣1 - τ L ∣ < 1 ⟺ - 1 < 1 - τ L < 1 ⟺ 0 < τ L < 2 ⟺ 0 < τ < \frac{2}{L},$

la dernière équivalence parce que $L > 0$ (et $τ > 0$ par hypothèse).

Remarque : pour $τ = 2/ L$ , $x_{n} = (- 1)^{n} x_{0}$ oscille sans converger ; pour $τ > 2/ L$ la suite diverge. Le pas $2/ L$ est donc la limite naturelle des résultats qui suivent.

Q4. La fonction $g$ est de classe $C^{1}$ sur $R$ (différence de deux fonctions $C^{1}$ ), de dérivée $g^{'} (x) = f^{'} (x) - α x$ . Comme $g$ est convexe et de classe $C^{1}$ , sa dérivée $g^{'}$ est croissante (résultat admis par l'énoncé) : $x \mapsto f^{'} (x) - α x$ est croissante.

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