Corrigé X-ENS 2025 Maths PSI — Partie III (1) (Q9 à Q12.c) : Un exemple à minimiseurs multiples, inégalité de la tangente et lemme de descente

Sujet officiel du concours X-ENS, session 2025, épreuve Maths PSI. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

La suite $(x_{n})$ vérifie toujours $x_{n + 1} = x_{n} - τ f^{'} (x_{n})$ (relation (2)), avec $τ > 0$ . On commence par l'exemple $f (x) = \frac{1}{3} x^{3}$ si $x \geq 0$ , $f (x) = 0$ si $x < 0$ .

Q9. Justifier que $f \in C^{1} (R)$ et que $f$ est convexe ; donner l'ensemble de ses minimiseurs.
Q10. On suppose $0 < x_{0} < 1/ τ$ .
Q10.a. Justifier que $(x_{n})$ est décroissante, à valeurs strictement positives, et que $x_{n + 1} = x_{n} (1 - τ x_{n})$ .
Q10.b. Justifier que $x_{n} \to 0$ .
Q10.c. Montrer que $1/ x_{n + 1} = 1/ x_{n} + τ / (1 - τ x_{n})$ ; en déduire $x_{n} \leq x_{0} / (1 + n τ x_{0})$ .
Q11. Pour $τ > 0$ quelconque, montrer que pour tout $x_{0} \in R$ , $(x_{n})$ converge vers un minimiseur de $f$ .

Hypothèses de la suite : $f \in C^{1} (R)$ est convexe, admet un minimiseur $x_{*}$ , $f^{'}$ est $L$ -lipschitzienne, et $0 < τ < 2/ L$ .

Q12.a. Montrer que $f (y) \geq f (x) + f^{'} (x) (y - x)$ pour tous $x, y$ (développement limité de (1) quand $t \to 0^{+}$ ).
Q12.b. Montrer que $f (y) \leq f (x) + f^{'} (x) (y - x) + \frac{L}{2} (y - x)^{2}$ pour tous $x, y$ .
Q12.c. Établir $f (x_{n + 1}) \leq f (x_{n}) - \frac{τ}{2} (2 - τ L) ∣ f^{'} (x_{n}) ∣^{2}$ ; en déduire que $(f (x_{n}))$ est décroissante.

Corrigé

Q9. Dérivabilité. Sur l'ouvert $] 0, + \infty [$ , $f (x) = x^{3} /3$ est dérivable de dérivée $x^{2}$ ; sur l'ouvert $] - \infty, 0 [$ , $f$ est nulle, de dérivée $0$ . En $0$ , le taux d'accroissement vaut

$\frac{f ( h ) - f ( 0 )}{h} = \frac{h ^{2}}{3} si h > 0, \frac{f ( h ) - f ( 0 )}{h} = 0 si h < 0,$

et tend vers $0$ quand $h \to 0$ : $f$ est dérivable en $0$ et $f^{'} (0) = 0$ . Ainsi

$f^{'} (x) = x^{2} si x \geq 0, f^{'} (x) = 0 si x < 0.$

Continuité de $f^{'}$ . $f^{'}$ est continue sur $] 0, + \infty [$ et sur $] - \infty, 0 [$ ; en $0$ , ses limites à gauche ( $0$ ) et à droite ( $lim_{0^{+}} x^{2} = 0$ ) valent $f^{'} (0) = 0$ . Donc $f \in C^{1} (R)$ .

Convexité. Montrons que $f^{'}$ est croissante. Soient $x \leq y$ : si $y \leq 0$ , $f^{'} (x) = f^{'} (y) = 0$ ; si $x \leq 0 \leq y$ , $f^{'} (x) = 0 \leq y^{2} = f^{'} (y)$ ; si $0 \leq x \leq y$ , $x^{2} \leq y^{2}$ . Donc $f^{'}$ est croissante et $f$ est convexe.

Minimiseurs. $f \geq 0$ sur $R$ ( $x^{3} /3 \geq 0$ pour $x \geq 0$ ), $f = 0$ sur $] - \infty, 0]$ et $f (x) = x^{3} /3 > 0$ pour $x > 0$ . Le minimum de $f$ vaut $0$ et l'ensemble des minimiseurs est $] - \infty, 0]$ : il n'y a pas unicité.

Q10.a. Posons $I =] 0, 1/ τ [$ et $φ (x) = x (1 - τ x)$ . Pour $x \in I$ , $x > 0$ donc $f^{'} (x) = x^{2}$ et

$x - τ f^{'} (x) = x - τ x^{2} = x (1 - τ x) = φ (x) .$

De plus $0 < τ x < 1$ , donc $1 - τ x \in] 0, 1 [$ et $0 < φ (x) < x < 1/ τ$ : l'intervalle $I$ est stable par $φ$ .

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