Corrigé X-ENS 2025 Maths PSI — Partie IV (2) (Q25 à Q30) : L'opérateur proximal est 1-lipschitzien ; convergence de l'algorithme proximal

Hypothèses : $f\in \mathcal{C}(\mathbb{R})$ convexe admet un minimiseur $x_{\ast }$, $\tau >0$, $p_f(x)$ est l'unique minimiseur de $u\mapsto \frac{1}{2}|u-x{|}^2+\tau f(u)$ (Q19), et $x_{n+1}=p_f(x_n)$ (relation (5)).

Q25. Soient $x\in \mathbb{R}$ et $\tilde{x}=p_f(x)$. Montrer que $\tau f(\tilde{x})+\frac{1}{2}|\tilde{x}-x{|}^2\le \tau f(\tilde{x}+tv)+\frac{1}{2}|\tilde{x}+tv-x{|}^2$ pour tous $v,t\in \mathbb{R}$. Avec $\tilde{y}=p_f(y)$, en déduire l'inégalité (6) :

$$2\tau (f(\tilde{x})+f(\tilde{y})-f(\tilde{x}+tv)-f(\tilde{y}-tv))\le |\tilde{x}+tv-x{|}^2+|\tilde{y}-tv-y{|}^2-|\tilde{x}-x{|}^2-|\tilde{y}-y{|}^2.$$

Q26. Montrer que le membre de droite de (6) vaut $2tv(\tilde{x}-x+y-\tilde{y})+o(t)$ quand $t\to 0$.
Q27. Avec $v=\tilde{y}-\tilde{x}$, montrer que le membre de gauche de (6) est positif pour $t\in [0,1]$ ; en déduire $|\tilde{x}-\tilde{y}{|}^2\le (x-y)(\tilde{x}-\tilde{y})$.
Q28. Montrer que $|p_f(x)-p_f(y)|\le |x-y|$ ; en déduire que $(|x_n-x_{\ast }|)$ est décroissante.

On admet, comme en Q18.a, l'existence d'une sous-suite $x_{\phi (n)}\to x_{\ast \ast }$.

Q29. Montrer que $x_{\phi (n)+1}\to x_{\ast \ast }$, puis que $p_f(x_{\ast \ast })=x_{\ast \ast }$.
Q30. Conclure que $x_{\ast \ast }$ est un minimiseur de $f$ et que $x_n\to x_{\ast \ast }$.