Corrigé X-ENS 2025 Modélisation PSI — Partie 2.1 (Q1 à Q4) : Autodécharge d'un stockage thermocline : résistance thermique des parois, constante de temps, demi-vie

Sujet officiel du concours X-ENS, session 2025, épreuve Modélisation PSI. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Le sujet étudie un stockage de chaleur sensible haute température (Eco-Stock, figure 2 : photographie d'un conteneur relié à un ventilateur, des canons d'air chaud et une cheminée). De l'air chaud traverse un lit fixe de roches réfractaires et le réchauffe (charge) ; le sens de l'écoulement s'inverse pour récupérer la chaleur (décharge). La figure 1 schématise ces deux phases et la thermocline, zone de fort gradient de température qui sépare la zone chaude de la zone froide.

On évalue ici l'autodécharge au repos, due aux seules pertes par conduction à travers les parois. La température $T$ du stockage est supposée uniforme, initialement $T = T_{1} = 75 0^{\circ} C$ .

Données : hauteur $H = 1, 7 m$ , longueur $L = 3 m$ , profondeur $B = 1, 7 m$ , section $S = H B \approx 3 m^{2}$ , volume $V$ ; isolant sur toutes les parois, d'épaisseur $e = 10 cm$ et de conductivité $λ_{i} = 0, 03 W \cdot m^{- 1} \cdot K^{- 1}$ ; $T_{amb} = 2 0^{\circ} C$ ; roches : $c_{s} = 1200 J \cdot k g^{- 1} \cdot K^{- 1}$ , $ρ_{s} = 3000 kg \cdot m^{- 3}$ .

Q1. Exprimer et calculer la résistance thermique $R_{t h}$ des parois isolantes.
Q2. Exprimer le flux sortant $ϕ$ en fonction de $R_{t h}$ , $T$ et $T_{amb}$ ; calculer la puissance perdue à $T = T_{1}$ .
Q3. Par le premier principe, établir l'équation différentielle de l'autodécharge, évaluer sa constante de temps, puis la durée au bout de laquelle la température atteint $50%$ de sa valeur initiale ( $ln 2 \approx 0, 7$ ).
Q4. Conclure sur la conservation de l'énergie sur une longue période. Sur quels paramètres jouer pour allonger la durée de stockage ?

Corrigé

Q1. L'épaisseur d'isolant ( $e = 10 cm$ ) est petite devant les dimensions du stockage : chaque paroi se traite comme une couche plane en régime stationnaire, de résistance $e / (λ_{i} A_{k})$ pour une face d'aire $A_{k}$ . On néglige les effets d'arêtes et de coins. Les six faces séparent le même intérieur (à $T$ ) du même extérieur (à $T_{amb}$ ) : elles sont en parallèle, leurs conductances s'ajoutent. Avec l'aire totale

$A = 2 (H L + H B + L B) = 2 (5, 1 + 2, 89 + 5, 1) \approx 26, 2 m^{2},$

on obtient

$R_{t h} = \frac{e}{λ _{i} A} = \frac{e}{2 λ _{i} ( H L + H B + L B )}, R_{t h} = \frac{0 , 10}{0 , 03 \times 26 , 2} \approx 0, 13 K \cdot W^{- 1} .$

Homogénéité : $m / (W \cdot m^{- 1} \cdot K^{- 1} \cdot m^{2}) = K \cdot W^{- 1}$ . Compter l'aire extérieure de l'isolant ( $\approx 31 m^{2}$ ) plutôt que l'aire intérieure donnerait $0, 11 K \cdot W^{- 1}$ : à $15%$ près, $R_{t h} \approx 0, 1 K \cdot W^{- 1}$ .

Q2. La résistance thermique est définie par l'analogue de la loi d'Ohm, la différence de température jouant le rôle de la tension et le flux celui de l'intensité :

$ϕ = \frac{T - T _{amb}}{R _{t h}} .$

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