Corrigé X-ENS 2025 Modélisation PSI — Partie 2.2 (Q5 à Q10) : Modèle air-roches à deux températures, schéma d'Euler explicite en Python, stabilité et mémoire

Sujet officiel du concours X-ENS, session 2025, épreuve Modélisation PSI. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Le lit de roches (solide $s$ ), de longueur $L$ et de section $S$ , est initialement à $T_{0}$ ; l'air (fluide $f$ ) entre à $T_{1}$ en $x = 0$ avec le débit massique $m ˙_{f}$ .

Figure 3 — Principe de la charge du milieu granulaire.

Notations : $T_{f} (x, t)$ et $T_{s} (x, t)$ , températures de l'air et des roches ; densité de flux sortant du solide à l'interface $j_{C} = h (T_{s} - T_{f})$ ; porosité $ε = 1 - V_{s} / V$ (fraction du volume occupée par l'air) ; $λ_{f}$ , $λ_{s}$ , $c_{f}$ , $c_{s}$ conductivités et capacités massiques, toutes constantes.

Q5. Par un bilan sur une tranche $d x$ , établir le système couplé et l'identifier à

$C_{1} \frac{\partial T _{s}}{\partial t} = C_{2} \frac{\partial ^{2} T _{s}}{\partial x ^{2}} - h (T_{s} - T_{f}), C_{3} (\frac{\partial T _{f}}{\partial t} + \frac{\partial x}{\partial t} \frac{\partial T _{f}}{\partial x}) = C_{4} \frac{\partial ^{2} T _{f}}{\partial x ^{2}} + h (T_{s} - T_{f});$

exprimer $C_{1}$ à $C_{4}$ .
Q6. Montrer que l'on peut poser $\frac{\partial x}{\partial t} = \frac{m ˙ _{f} L}{m _{f}} = C_{5}$ , où $m_{f}$ est la masse d'air dans le lit.

On note $U_{i, j} = T_{s} (x_{i}, t_{j})$ et $V_{i, j} = T_{f} (x_{i}, t_{j})$ . Le code du sujet importe numpy, fixe T0 = 150, T1 = 525, L = 3, h = 30, C1 = 1352250, C2 = 0.020, C3 = 480, C4 = 3.800, C5 = 0.173, définit nx = 1001 abscisses X (pas dx), le pas dt = 0.01 et les instants T = np.arange(0, 36000, dt) (nt valeurs), puis crée deux tableaux nuls U, V de forme (nx, nt).

Q7. Décrire les conditions initiales et aux limites ; les écrire en Python.
Q8. Par le schéma d'Euler explicite, donner une relation de récurrence.
Q9. Écrire le code de la simulation sur $10 h$ ; y a-t-il des effets de bord ?
Q10. Quels paramètres influent sur la qualité de l'approximation ? Estimer la mémoire nécessaire (flottants de $64$ bits) et conclure sur la faisabilité.

Corrigé

Q5. On découpe le lit en tranches $[x, x + d x]$ de section $S$ . Dans une tranche, le solide occupe le volume $(1 - ε) S d x$ et l'air le volume $εS d x$ . On suppose que la fraction de section occupée par chaque phase est égale à sa fraction de volume. Le transfert est unidimensionnel selon $x$ et les parois sont adiabatiques.

Bilan d'énergie sur le solide de la tranche (système fermé immobile, phase condensée : $d U = d H$ ), pendant $d t$ :

variation d'énergie interne : $(1 - ε) S d x ρ_{s} c_{s} \frac{\partial T _{s}}{\partial t} d t$ ;
conduction dans le solide (loi de Fourier $j_{s} = - λ_{s} \partial T_{s} / \partial x$ à travers l'aire $(1 - ε) S$ ) : entrée nette $[j_{s} (x) - j_{s} (x + d x)] (1 - ε) S d t = (1 - ε) λ_{s} \frac{\partial ^{2} T _{s}}{\partial x ^{2}} S d x d t$ ;
échange avec l'air (loi de Newton) : sortie $h (T_{s} - T_{f}) S d x d t$ .

Dans l'équation proposée, le terme d'échange apparaît sans facteur d'aire : $h$ y est un coefficient d'échange volumique (en $W \cdot m^{- 3} \cdot K^{- 1}$ ), produit du coefficient de Newton par l'aire d'interface air-roche par unité de volume du lit. Après division par $S d x d t$ :

$(1 - ε) ρ_{s} c_{s} \frac{\partial T _{s}}{\partial t} = (1 - ε) λ_{s} \frac{\partial ^{2} T _{s}}{\partial x ^{2}} - h (T_{s} - T_{f}) .$

Bilan d'énergie sur l'air de la tranche : c'est un système ouvert (l'air traverse la tranche). On applique le premier principe pour un système ouvert, sous forme locale. On néglige les énergies cinétique et potentielle et les variations de pression, donc $d h_{m} = c_{f} d T$ pour l'enthalpie massique de l'air. Avec $ρ_{f} c_{f}$ constant :

variation d'énergie de l'air contenu : $εS d x ρ_{f} c_{f} \frac{\partial T _{f}}{\partial t} d t$ ;
enthalpie apportée par l'écoulement : $m ˙_{f} c_{f} [T_{f} (x) - T_{f} (x + d x)] d t = - m ˙_{f} c_{f} \frac{\partial T _{f}}{\partial x} d x d t$ ;
conduction dans l'air : $ε λ_{f} \frac{\partial ^{2} T _{f}}{\partial x ^{2}} S d x d t$ ;
échange avec le solide : $+ h (T_{s} - T_{f}) S d x d t$ .

D'où

$ε ρ_{f} c_{f} \frac{\partial T _{f}}{\partial t} + \frac{m ˙ _{f} c _{f}}{S} \frac{\partial T _{f}}{\partial x} = ε λ_{f} \frac{\partial ^{2} T _{f}}{\partial x ^{2}} + h (T_{s} - T_{f}) .$

En factorisant $ε ρ_{f} c_{f}$ au premier membre, on obtient la forme demandée avec

$C_{1} = (1 - ε) ρ_{s} c_{s}, C_{2} = (1 - ε) λ_{s}, C_{3} = ε ρ_{f} c_{f}, C_{4} = ε λ_{f}, \frac{\partial x}{\partial t} \equiv \frac{m ˙ _{f}}{ε ρ _{f} S} .$

La parenthèse du premier membre est la dérivée particulaire de $T_{f}$ , en suivant l'air qui avance à la vitesse $\partial x / \partial t$ . $C_{1}$ et $C_{3}$ sont des capacités thermiques volumiques ( $J \cdot m^{- 3} \cdot K^{- 1}$ ), $C_{2}$ et $C_{4}$ des conductivités effectives ( $W \cdot m^{- 1} \cdot K^{- 1}$ ).

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