Corrigé X-ENS 2025 Modélisation PSI — Partie 2.6 (Q18 à Q27) : Diffusion interne : équation de la chaleur, modes de Fourier en cosinus, temps d'homogénéisation

Sujet officiel du concours X-ENS, session 2025, épreuve Modélisation PSI. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Stockage au repos, sans échange d'air ni pertes. La température $T (x, t)$ du matériau réfractaire ( $λ_{s} = 3, 80 W \cdot m^{- 1} \cdot K^{- 1}$ , $c_{s} = 1200 J \cdot k g^{- 1} \cdot K^{- 1}$ , $ρ_{s} = 3000 kg \cdot m^{- 3}$ , longueur $L = 3 m$ ) obéit à l'équation de la chaleur unidimensionnelle

$ρ_{s} c_{s} \frac{\partial T}{\partial t} (x, t) = λ_{s} \frac{\partial ^{2} T}{\partial x ^{2}} (x, t) .$

Q18. Exprimer et évaluer le coefficient de diffusion thermique $α$ .

On cherche d'abord $T (x, t) = A_{0} + A_{1} (t) cos (ω_{0} x)$ avec $ω_{0} = π / L$ et $A_{0}$ constant, l'état initial vérifiant $T (0, 0) = T_{1} = 75 0^{\circ} C$ , $T (L /2, 0) = (T_{0} + T_{1}) /2$ et $T (L, 0) = T_{0} = 15 0^{\circ} C$ .

Q19. Donner $A_{0}$ et $A_{1}$ à l'instant initial ; représenter ce profil ; quelle est sa période ?
Q20. Quel est le sens physique de $A_{0}$ ? Pourquoi est-il constant en l'absence de pertes ?
Q21. En écrivant l'équation de la chaleur en $x = 0$ , établir l'équation différentielle vérifiée par $A_{1}$ .
Q22. La résoudre et représenter $A_{1} (t)$ .

On considère ensuite $T (x, t) = A_{0} + \sum_{n \geq 1} A_{n} (t) cos (n ω_{0} x)$ .

Q23. Commenter cette forme ; justifier qu'elle peut modéliser la température en temps et en espace ; écrire l'équation de la chaleur avec cette expression.

Produit scalaire : $⟨ s_{1}, s_{2} ⟩ = \int_{0}^{L} s_{1} (x) s_{2} (x) d x$ .

Q24. Vérifier que $cos (n ω_{0} x)$ et $cos (m ω_{0} x)$ sont orthogonaux pour $n \neq = m$ ; cas $n = m$ ? En déduire et résoudre l'équation différentielle de chaque $A_{n} (t)$ , $n \geq 1$ .

Le profil initial est maintenant constant par morceaux : $T_{1}$ sur $[0; L /2]$ , $T_{0}$ sur $[L /2; L]$ , vu comme une portion d'un signal périodique. Le sujet rappelle la série de Fourier d'un signal de période $Λ$ , $s (x) = A_{0} + \sum_{n \geq 1} [A_{n} cos (n ω_{0} x) + B_{n} sin (n ω_{0} x)]$ avec $ω_{0} = 2 π /Λ$ , $A_{0}$ valeur moyenne, $A_{n}$ et $B_{n}$ égaux à $\frac{2}{Λ}$ fois l'intégrale sur une période de $s (x) cos (n ω_{0} x)$ et $s (x) sin (n ω_{0} x)$ .

Q25. Quel est le profil final ? Déterminer les $A_{n} (0)$ ; justifier l'absence des $B_{n}$ .
Q26. Représenter l'évolution de $A_{1}$ , $A_{2}$ , $A_{3}$ , $A_{4}$ et $A_{5}$ .
Q27. Au bout de combien de temps la température est-elle uniforme à $1%$ près ( $ln 100 \approx 4, 6$ ) ? Comparée aux durées calculées auparavant, cette constante de temps est-elle problématique ?

Corrigé

Q18. En divisant par $ρ_{s} c_{s}$ , l'équation prend la forme canonique de la diffusion :

$\frac{\partial T}{\partial t} = α \frac{\partial ^{2} T}{\partial x ^{2}}, α = \frac{λ _{s}}{ρ _{s} c _{s}} = \frac{3 , 80}{3 000 \times 1 200} \approx 1, 06 \times 1 0^{- 6} m^{2} \cdot s^{- 1} .$

C'est la diffusivité thermique (notée $D$ dans le cours). Elle ne dépend que du matériau. Les dimensions du stockage interviennent par l'échelle de temps de diffusion sur la longueur $L$ :

$τ_{D} = \frac{L ^{2}}{α} = \frac{9}{1 , 06 \times 1 0 ^{- 6}} \approx 8, 5 \times 1 0^{6} s \approx 100 jours .$

Inversement, en une journée, la diffusion n'agit que sur $α t \approx 1, 06 \times 1 0^{- 6} \times 86400 \approx 0, 3 m$ .

Q19. En $x = 0$ , $L /2$ et $L$ , le cosinus vaut $1$ , $0$ et $- 1$ :

$A_{0} + A_{1} (0) = T_{1}, A_{0} = \frac{T _{0} + T _{1}}{2}, A_{0} - A_{1} (0) = T_{0},$

système cohérent qui donne

$A_{0} = \frac{T _{1} + T _{0}}{2} = 45 0^{\circ} C, A_{1} (0) = \frac{T _{1} - T _{0}}{2} = 30 0^{\circ} C .$

Le profil est une demi-arche de cosinus, de $75 0^{\circ} C$ en $x = 0$ à $15 0^{\circ} C$ en $x = L$ , à tangentes horizontales aux deux extrémités. La forme $cos (π x / L)$ a pour période spatiale $2 π / ω_{0} = 2 L = 6 m$ : le stockage n'en contient qu'une demi-période.

Q20. La moyenne spatiale de $cos (π x / L)$ sur $[0; L]$ est nulle, donc

$A_{0} = \frac{1}{L} \int_{0}^{L} T (x, t) d x$

est la température moyenne du stockage. L'énergie stockée, $E = ρ_{s} c_{s} S \int_{0}^{L} (T - T_{amb}) d x = ρ_{s} c_{s} S L (A_{0} - T_{amb})$ , lui est proportionnelle. Sans pertes ni échange d'air, le stockage est isolé et $E$ se conserve (premier principe) : $A_{0}$ est constant. On le vérifie sur l'équation : $\frac{d}{d t} \int_{0}^{L} T d x = α [\frac{\partial T}{\partial x}]_{0}^{L} = 0$ , car le flux est nul aux deux extrémités adiabatiques ; la forme proposée respecte bien $\partial T / \partial x = 0$ en $0$ et $L$ .

Q21. Avec $T = A_{0} + A_{1} (t) cos (ω_{0} x)$ :

$\frac{\partial T}{\partial t} = \frac{d A _{1}}{d t} cos (ω_{0} x), \frac{\partial ^{2} T}{\partial x ^{2}} = - ω_{0}^{2} A_{1} cos (ω_{0} x) .$

En $x = 0$ , où le cosinus vaut $1$ , l'équation de la chaleur donne

$ρ_{s} c_{s} \frac{d A _{1}}{d t} = - λ_{s} ω_{0}^{2} A_{1} ⟺ \frac{d A _{1}}{d t} + \frac{A _{1}}{τ _{1}} = 0,$

avec

$τ_{1} = \frac{1}{α ω _{0}^{2}} = \frac{L ^{2}}{π ^{2} α} = \frac{ρ _{s} c _{s} L ^{2}}{π ^{2} λ _{s}} .$

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