Corrigé X-ENS 2025 Modélisation PSI — Partie 2.7 (Q28 à Q31) : Pertes par l'air sortant en fonction de l'énergie stockée, rendement sur cycle de charge-décharge

Sujet officiel du concours X-ENS, session 2025, épreuve Modélisation PSI. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

La figure 5 donne, en charge à puissance constante puis en décharge, l'énergie stockée (en pourcentage de l'énergie stockable maximale, axe de gauche, en noir) et la température de l'air sortant (axe de droite, en gris) : points mesurés, traits du modèle.

Figure 5a — Charge.

Figure 5b — Décharge.

Q28. Expliquer l'évolution de l'énergie stockée et de la température de sortie pendant la charge.

On modélise l'énergie stockée et la température de sortie par

$E (t) = E^[1 - exp (- \frac{t}{τ})], T_{0} (t) = T_{amb} + (T^- T_{amb}) exp (\frac{t}{τ}),$

où $τ$ , $T^$ et $E^$ sont des constantes identifiées sur les mesures.

Q29. Exprimer la température de sortie en fonction de l'énergie stockée ; en s'appuyant sur la question 2, en déduire les pertes en fonction de l'énergie stockée. Quels paramètres de dimensionnement les diminueraient ?

Une charge de durée $t_{c}$ fait passer $E$ de $0$ à $E_{c}$ .

Q30. Exprimer l'énergie des pertes $E_{p er t es}$ de cette charge en fonction de $t_{c}$ , puis de $E_{c}$ .

Seules les pertes par l'air sortant sont prises en compte, supposées identiques en charge et en décharge. L'énergie injectée vaut $E_{inj} = E_{c} + E_{p er t es}$ , l'énergie récupérée $E_{c} - E_{p er t es}$ , et le rendement sur cycle $η = (E_{inj} - 2 E_{p er t es}) / E_{inj}$ .

Q31. Exprimer $η$ en fonction de $E_{c}$ ; limites quand $E_{c} \to 0$ et $E_{c} \to E^$ . Critiquer les hypothèses. Sur quels paramètres jouer pour améliorer le rendement ?

Corrigé

Q28. Énergie stockée. La puissance injectée est constante. Pendant les quatre premières heures, l'air sort à une température basse et constante ( $\approx 22 0^{\circ} C$ ) : la puissance emportée par l'air sortant est faible et constante, et la puissance stockée (injectée moins sortante) l'est aussi. L'énergie croît donc linéairement, d'environ $13%$ de l'énergie maximale par heure. Au-delà de $5 h$ , la courbe s'infléchit : la puissance stockée diminue parce que la puissance perdue en sortie augmente. L'énergie tend vers une limite (stockage plein), atteinte quand l'air ressort à la température d'entrée.

Température de sortie. Tant que la zone froide occupe l'extrémité de sortie, l'air y sort à la température de cette zone, constante (palier de $0$ à $\approx 3, 5 h$ ). Quand la thermocline, qui avance et s'élargit (Q13), atteint la sortie, la température de l'air sortant augmente : $36 0^{\circ} C$ à $7 h$ (« percée » du front). Les deux évolutions sont liées : l'inflexion de $E (t)$ coïncide avec la montée de la température de sortie.

Q29. De $E = E^(1 - e^{- t / τ})$ on tire $e^{- t / τ} = 1 - E / E^$ , donc $e^{t / τ} = E^/ (E^- E)$ et

$T_{0} = T_{amb} + (T^- T_{amb}) \frac{E ^}{E ^ - E} .$

Pertes. La question 2 écrit une puissance perdue sous la forme d'un écart de température divisé par une résistance thermique. Pour l'air rejeté à $T_{0}$ , la puissance perdue est le débit d'enthalpie calculé comme en Q12, avec la référence $T_{amb}$ : c'est une loi de même forme, de « résistance » $R_{ai r} = 1/ (ρ_{f} D c_{f})$ , l'inverse de la capacité thermique du débit d'air.

100 % gratuit

La suite du corrigé est sur Adloun

Le corrigé rédigé en entier, question par question, et le tuteur pour poser des questions sur ce sujet.

Voir le corrigé complet, gratuitement

Inscription gratuite en 30 secondes (e-mail, nom d'utilisateur, mot de passe, classe ou profil), sans carte bancaire : arrivée directe sur le corrigé.

Toutes les parties de l'épreuve

Corrigé complet gratuit →