Corrigé X-ENS 2025 Modélisation PSI — Partie 3.1.3 (Q40 à Q44) : Fonction de transfert du Stirling, pôles instables, oscillation entretenue par correcteur dérivé

Sujet officiel du concours X-ENS, session 2025, épreuve Modélisation PSI. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

On part du modèle double-effet de Q39 :

$m_{1} x ¨_{1} = K_{11} x_{1} + K_{13} x_{3} + D_{11} x ˙_{1} + D_{13} x ˙_{3}, m_{3} x ¨_{3} = 2 K_{31} x_{1} + K_{33} x_{3} + D_{33} x ˙_{3} + F_{g e n} .$

Q40. Dans le domaine de Laplace, montrer que

$H_{s t i r} (p) = \frac{X _{3} ( p )}{F _{g e n} ( p )} = K_{s t i r} \frac{1 + a _{1} p + a _{2} p ^{2}}{1 + b _{1} p + b _{2} p ^{2} + b _{3} p ^{3} + b _{4} p ^{4}}$

et exprimer $K_{s t i r}$ , $a_{1}$ , $a_{2}$ , $b_{1}$ à $b_{4}$ .

La figure 8 place les pôles et les zéros de $H_{s t i r}$ ; $K_{s t i r} = 4, 76 \times 1 0^{- 6} m \cdot N^{- 1}$ .

Figure 8 — Pôles et zéros de $H_{s t i r} (p)$ .

Q41. Le système est-il stable ? Proposer une solution pour maximiser la conversion de l'énergie thermique en énergie électrique.

On veut une oscillation autoentretenue du piston, obtenue par mise en résonance, avec la régulation suivante ( $X_{3}^{*}$ : consigne de position).

Les diagrammes de Bode de $H_{s t i r}$ sont donnés figure 9.

Figure 9 — Diagrammes de Bode de $H_{s t i r}$ .

Q42. Comment régler $C \cdot H_{s t i r}$ pour obtenir en boucle fermée l'oscillation attendue ? On pourra s'appuyer sur les conditions de stabilité d'un système bouclé.

On prend $C (p) = β p$ .

Q43. Quel est ce correcteur, et quel est son sens physique ici ? Proposer un réglage de $β$ ; tracer les diagrammes de Bode obtenus.

Avec ce réglage, la réponse à une impulsion est celle de la figure 10.

Figure 10 — Essai impulsionnel sur le système asservi.

Q44. Commenter cette réponse temporelle.

Corrigé

Q40. À conditions initiales nulles, la transformation de Laplace remplace la dérivation par la multiplication par $p$ :

$(m_{1} p^{2} - D_{11} p - K_{11}) X_{1} = (K_{13} + D_{13} p) X_{3},$

$(m_{3} p^{2} - D_{33} p - K_{33}) X_{3} = 2 K_{31} X_{1} + F_{g e n} .$

On élimine $X_{1} = \frac{K _{13} + D _{13} p}{m _{1} p ^{2} - D _{11} p - K _{11}} X_{3}$ :

$H_{s t i r} (p) = \frac{m _{1} p ^{2} - D _{11} p - K _{11}}{( m _{3} p ^{2} - D _{33} p - K _{33} ) ( m _{1} p ^{2} - D _{11} p - K _{11} ) - 2 K _{31} ( K _{13} + D _{13} p )} .$

On développe le dénominateur et l'on divise haut et bas par les termes constants, $- K_{11}$ au numérateur et $Δ = K_{11} K_{33} - 2 K_{13} K_{31}$ au dénominateur. On obtient la forme demandée (le numérateur est du second degré : « $a_{2} p$ » dans l'énoncé est une coquille pour $a_{2} p^{2}$ ) :

$K_{s t i r} = \frac{- K _{11}}{K _{11} K _{33} - 2 K _{13} K _{31}}, a_{1} = \frac{D _{11}}{K _{11}}, a_{2} = - \frac{m _{1}}{K _{11}}$

$b_{1} = \frac{D _{11} K _{33} + D _{33} K _{11} - 2 D _{13} K _{31}}{Δ}, b_{2} = \frac{D _{11} D _{33} - m _{1} K _{33} - m _{3} K _{11}}{Δ}$

$b_{3} = - \frac{m _{1} D _{33} + m _{3} D _{11}}{Δ}, b_{4} = \frac{m _{1} m _{3}}{Δ}$

avec $Δ = K_{11} K_{33} - 2 K_{13} K_{31}$ . Le développement a été vérifié par calcul formel. Le numérateur est le polynôme caractéristique du déplaceur seul, piston bloqué. La différence de degré vaut $2$ : à haute fréquence, le gain décroît de $40 dB$ par décade, comme pour une masse seule.

Q41. Sur la figure 8 :

deux pôles $\approx - 94 \pm 191 j s^{- 1}$ , à partie réelle négative ;
deux pôles $\approx + 0, 5 \pm 175 j s^{- 1}$ , à partie réelle légèrement positive ;
deux zéros $\approx - 79 \pm 182 j s^{- 1}$ : ce sont les modes propres du déplaceur, piston bloqué (Q40), de pulsation $7 9^{2} + 18 2^{2} \approx 198 rad \cdot s^{- 1}$ .

Un système linéaire est stable si et seulement si tous ses pôles sont à partie réelle strictement négative : le moteur Stirling est instable. La figure 9 le confirme : en traversant $175 rad \cdot s^{- 1}$ , la phase augmente de $18 0^{\circ}$ , signature d'une paire de pôles à partie réelle positive ; une paire stable la ferait diminuer de $18 0^{\circ}$ . Le régime libre est une oscillation de pulsation $ω_{0} \approx 175 rad \cdot s^{- 1}$ ( $f_{0} \approx 28 Hz$ ) dont l'amplitude croît lentement, en $e^{0, 5 t}$ .

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