Corrigé X-ENS 2025 Modélisation PSI — Partie 3.1 (Q32 à Q39) : Moteur Stirling double-effet : principe fondamental de la dynamique, gaz parfait, ressorts gazeux adiabatiques

La chaleur stockée alimente un moteur Stirling double-effet couplé à une génératrice linéaire : deux moteurs Stirling de type $\beta$ identiques et symétriques partagent le piston 3 et travaillent en opposition de phase thermodynamique (figure 6). Dans chaque moteur, un déplaceur transvase le gaz entre chambres chaude et froide à travers un régénérateur ; la pression met en mouvement le piston 3.

Figure 6 — Structure du moteur Stirling double-effet.

On étudie d'abord le moteur 1 (figure 7), avec le repère ${\mathcal{R}}_0=(O,\overrightarrow{x_0},\overrightarrow{y_0},\overrightarrow{z_0})$ lié au bâti. Déplaceur 1 : masse $m_1$, section $S$, section interne $S_{int}$, $\overrightarrow{O{G}_1}=({\ell }_1+x_1(t))\overrightarrow{x_0}$. Piston 3 : masse $m_3$, section $S$, $\overrightarrow{O{G}_3}=({\ell }_3+x_3(t))\overrightarrow{x_0}$. Liaisons parfaites, pesanteur négligée. Chambre froide : $m_f$, $p_f$, $T_f$, $V_f$ ; chambre chaude : $m_c$, $p_c$, $T_c$, $V_c$ ; chambre B : $p_b$, $V_b$ ; chambre M (section $S$) : $p_m$, $V_m$. La génératrice exerce sur le piston 3 la force $F_{gen}\overrightarrow{x_0}$.

Figure 7 — Modèle thermomécanique du moteur 1 (à droite, le déplaceur seul).

Q32. Par le principe fondamental de la dynamique appliqué au piston 3, établir l'équation différentielle de $x_3(t)$.
Q33. Même question pour le déplaceur 1 et $x_1(t)$.

Gaz du régénérateur négligé ; $V_0$ : volume de chaque chambre (chaude, froide) pour $x_1=x_3=0$.

Q34. Exprimer la masse $m$ de gaz du système {chambre chaude, chambre froide, régénérateur} à l'aide de la constante massique $r$ du gaz parfait.

On admet $p=p_c=p_f$, égale à $p_0$ pour $x_1=x_3=0$.

Q35. Quelles hypothèses permettent d'écrire des pressions identiques dans les chambres chaude et froide ?
Q36. Exprimer $V_c$ et $V_f$ en fonction de $V_0$, $S$, $S_{int}$, $x_1$, $x_3$, puis montrer que $p=p_0/(1+k_1{x}_1+k_3{x}_3)$ ; donner $p_0$, $k_1$, $k_3$.
Q37. Linéariser cette expression au voisinage de $p_0$.

Les chambres M et B, de quantités de gaz fixes, sont adiabatiques (indice $\gamma$) ; références $p_{b0}$, $V_{b0}$ pour $x_1=0$ et $p_{m0}$, $V_{m0}$ pour $x_3=0$ : ce sont des « ressorts gazeux ».

Q38. Montrer que $p_b\approx p_{b0}(1+B_1{x}_1)$ au voisinage de $x_1=0$ ; donner $B_1$. En déduire $p_m$ au voisinage de $x_3=0$.

Avec les pertes de charge et les frottements, le moteur 1 obéit à

$$m_1{\ddot{x}}_1=K_{11}{x}_1+K_{13}{x}_3+D_{11}{\dot{x}}_1+D_{13}{\dot{x}}_3,m_3{\ddot{x}}_3=K_{31}{x}_1+K_{33}{x}_3+D_{33}{\dot{x}}_3+F_{gen}.$$

Q39. Justifier que le moteur double-effet obéit au même système, où $K_{31}{x}_1$ devient $2K_{31}{x}_1$.