Corrigé X-ENS 2025 Modélisation PSI — Partie 3.2.3 (Q51 à Q53) : Schéma monophasé équivalent, compensation de l'inductance cyclique, génératrice amortisseur visqueux

Sujet officiel du concours X-ENS, session 2025, épreuve Modélisation PSI. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Suite de la partie 3.2 : la phase 1 de la génératrice linéaire a la fem $e_{1} = E^cos (ω t)$ , avec $ω = π v / a$ et $E^= 8 K N ϕ^v / (π a)$ (Q48), et le courant $i_{1} = I^cos (ω t + ψ)$ ; les phases 2 et 3 sont identiques, décalées. La force totale des trois phases sur le piston 3 vaut, en intensité, $\frac{3 E ^ I ^}{2 v} cos ψ$ (Q50) : elle est maximale pour $ψ = 0$ . On modélise une phase par le schéma de la figure 14.

Figure 14 — Schéma monophasé équivalent de la génératrice.

Q51. Expliquer les éléments du schéma.
Q52. Comment choisir $Z_{c h} = R_{c h} + j X_{c h}$ pour respecter la condition de force maximale sur $ψ$ ?
Q53. Simplifier alors la force de Q50 et la mettre sous la forme $F = β v$ ; relier ce résultat à la question 43.

Corrigé

Rappel des résultats utiles (Q48 à Q50) : la phase 1 a pour fem $e_{1} = E^cos ω t$ ; la force des trois phases sur le piston vaut $F = - \frac{3 E ^ I ^}{2 v} cos ψ$ sur l'axe du mouvement, constante et maximale en intensité pour $ψ = 0$ .

Q51. Schéma équivalent d'une phase, en convention générateur :

$e$ : la fem induite par le déplacement des aimants (Q48), proportionnelle à la vitesse ;
$R$ : la résistance du bobinage d'une phase, siège des pertes Joule (cuivre) ;
$L_{c}$ : l'inductance cyclique, qui regroupe l'auto-inductance de la phase et les mutuelles avec les deux autres phases (système triphasé) ; elle traduit le champ créé par les courants de l'induit (réaction d'induit) et les fuites ;
$v$ : la tension aux bornes d'une phase, fournie à la charge ;
$Z_{c h}$ : l'impédance de la charge par phase (réseau via un convertisseur, ou charge résistive), en convention récepteur.

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