Corrigé X-ENS 2025 Modélisation PSI — Parties 2.3 à 2.5 (Q11 à Q17) : Énergie stockable, puissance du flux d'air, profils de charge et de décharge, énergie avec thermocline

Sujet officiel du concours X-ENS, session 2025, épreuve Modélisation PSI. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Même stockage qu'en partie 2.1 ( $H = 1, 7 m$ , $L = 3 m$ , $B = 1, 7 m$ , $S \approx 3 m^{2}$ , $ρ_{s} = 3000 kg \cdot m^{- 3}$ , $c_{s} = 1200 J \cdot k g^{- 1} \cdot K^{- 1}$ ), de température supposée homogène en 2.3 ; $T_{amb} = 2 0^{\circ} C$ . L'air injecté est à $T_{1} = 75 0^{\circ} C$ , avec le débit volumique $D = 0, 5 m^{3} \cdot s^{- 1}$ , la masse volumique $ρ_{f} = 1, 2 kg \cdot m^{- 3}$ et la capacité massique $c_{f} = 1000 J \cdot k g^{- 1} \cdot K^{- 1}$ .

Q11. Évaluer l'énergie stockable $E$ en fonction de la capacité thermique, des dimensions et de la température moyenne ; application numérique pour $T = T_{1}$ .
Q12. Évaluer la puissance $P$ d'un flux d'air de débit $D$ et de température $T_{1}$ .

La figure 4 donne les profils de température le long du stockage, mesurés (points, proches des courbes, non reproduits) et calculés (traits), en charge (air à $T_{1}$ injecté en $x = 0$ ) et en décharge (air à $T_{0} = 15 0^{\circ} C$ injecté en $x = 3 m$ , sortant à gauche). On suppose l'air et le matériau à la même température en tout point.

Figure 4a — Profils de température lors d'une charge.

Figure 4b — Profils de température lors d'une décharge.

Q13. Expliquer le profil initial et son évolution en charge, puis en décharge.
Q14. Comment évolue la puissance du flux d'air sortant pendant la charge ? Est-elle valorisée ? Pourquoi maintenir la température de sortie aussi basse que possible ?
Q15. Le stockage peut-il être plus chaud que l'air entrant ?

On modélise désormais une thermocline de raideur infinie, située en $x_{0}$ : $T = T_{1} = 75 0^{\circ} C$ pour $x < x_{0}$ et $T = T_{0} = 15 0^{\circ} C$ au-delà ; la référence d'énergie est $T_{amb}$ .

Q16. Exprimer l'énergie stockée $E$ en fonction de $T_{1}$ , $T_{0}$ , $x_{0}$ et des caractéristiques des matériaux.
Q17. Pour quelle abscisse $x_{0}$ l'énergie stockée est-elle minimale ? Application numérique. Cette énergie peut-elle être valorisée ?

Corrigé

Q11. Les roches forment une phase condensée de capacité thermique $C_{t h} = ρ_{s} c_{s} V = ρ_{s} c_{s} H L B$ . L'énergie stockée, comptée à partir de l'état de référence à $T_{amb}$ (stockage « vide » à l'ambiante), est l'énergie interne apportée pour porter le matériau à sa température moyenne $T$ :

$E = ρ_{s} c_{s} H L B (T - T_{amb}),$

$E (T_{1}) = 3000 \times 1200 \times 8, 67 \times 730 \approx 2, 3 \times 1 0^{10} J \approx 6, 3 MWh .$

C'est une borne haute : le lit est poreux, et seule la fraction solide $1 - ε$ du volume stocke la chaleur (la capacité de l'air est négligeable). Le code de la partie 2.2 utilise $C_{1} = (1 - ε) ρ_{s} c_{s} = 1352250 J \cdot m^{- 3} \cdot K^{- 1}$ , soit $1 - ε \approx 0, 38$ , d'où $E \approx 2, 4 MWh$ pour un lit réel.

Q12. L'air traverse le stockage : c'est un système ouvert, et la puissance qu'un écoulement transporte est un débit d'enthalpie. Pour l'air assimilé à un gaz parfait de capacité $c_{f}$ constante, à pression quasi constante, avec la même référence $T_{amb}$ et le débit massique $m ˙ = ρ_{f} D$ :

$P = ρ_{f} D c_{f} (T_{1} - T_{amb}) = 1, 2 \times 0, 5 \times 1000 \times 730 \approx 4, 4 \times 1 0^{5} W \approx 440 kW .$

Le débit volumique est celui de l'air à $ρ_{f} = 1, 2 kg \cdot m^{- 3}$ : c'est le débit massique $0, 6 kg \cdot s^{- 1}$ qui compte, car l'air chaud est bien moins dense. Ordre de grandeur : sans pertes, la charge complète demanderait $E / P \approx 2, 3 \times 1 0^{10} /4, 4 \times 1 0^{5} \approx 5 \times 1 0^{4} s \approx 14 h$ ( $5 h$ environ avec la fraction solide réelle).

Q13. Charge (figure 4a).

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