Corrigé X-ENS 2025 Modélisation PSI — Parties 3.2.1 et 3.2.2 (Q45 à Q50) : Génératrice linéaire à aimants : flux triangulaire, premier harmonique, fem, force triphasée constante

Sujet officiel du concours X-ENS, session 2025, épreuve Modélisation PSI. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

La génératrice est une machine synchrone linéaire : le piston 3 porte des aimants radiaux alternés, de largeur $a$ , qui imposent dans l'entrefer le champ en créneau de la figure 11 ( $\pm B^$ , période $2 a$ ). L'abscisse $x_{m}$ est liée au mobile, $x$ au stator ; le centre du mobile est en $x_{m}^{0}$ dans le repère fixe. Hypothèses : entrefer étroit (lignes de champ non évasées), piston à vitesse constante, machine infiniment longue, effets de bord négligés.

Figure 11 — Aimants du mobile et champ radial dans l'entrefer (en noir : abscisse mobile ; en gris : repère fixe).

La figure 12 (non redessinée) déroule la machine cylindrique de diamètre $d$ en une machine plane de largeur $π d$ . Chaque bobine de la phase 1 compte $N$ spires ; $K$ bobines sont en série, dans le sens des courants indiqués. Les phases 2 et 3, identiques, sont décalées de $a /3$ et $2 a /3$ .

Figure 13 — Coupe de la machine ; les flèches donnent l'orientation du flux des aimants.

Q45. Quel est le flux $ϕ$ embrassé par la spire pour $x_{m}^{0} \in {- a /2, 0, a /2}$ ? Représenter $ϕ (x_{m}^{0})$ sur $[- 2 a; 2 a]$ .

On approxime $ϕ$ par son fondamental, en utilisant le lien entre les coefficients $A_{n}$ , $B_{n}$ de la série de Fourier d'un signal $s (x)$ et ceux, $α_{n}$ , $β_{n}$ , de $d s / d x$ (même forme $α_{0} + \sum [α_{n} cos (n ω_{0} x) + β_{n} sin (n ω_{0} x)]$ ).

Q46. En dérivant $s (x)$ , exprimer $α_{n}$ et $β_{n}$ en fonction de $A_{n}$ et $B_{n}$ .
Q47. Représenter $d ϕ / d x$ ; donner ses coefficients de Fourier ; en déduire que le fondamental de $ϕ$ a pour amplitude $b_{1} = - 8 ϕ^/ π^{2}$ .

Dans la suite, $ϕ (x_{m}^{0}) = \frac{8 ϕ ^}{π ^{2}} sin (\frac{π}{a} x_{m}^{0})$ et $x_{m}^{0} = v t$ , $v$ constante.

Q48. Exprimer le flux $Φ_{1}$ embrassé par la phase 1 ; en déduire sa fem $e_{1} (t)$ , puis $e_{2}$ et $e_{3}$ .

Courants : $i_{1} = I^cos (\frac{π}{a} v t + ψ)$ , $i_{2}$ et $i_{3}$ décalés de $a /3$ et $2 a /3$ ; $ψ$ : déphasage de $i_{1}$ sur $e_{1}$ . Pertes magnétiques négligées : $P_{e m}^{1} = e_{1} i_{1}$ égale la puissance mécanique du piston.

Q49. Exprimer la puissance mécanique $P_{m}$ , puis la force $F_{1}$ exercée sur le piston par la phase 1, et sa moyenne. Quelle condition maximise cette force ?
Q50. Exprimer la force des trois phases et sa valeur moyenne. Quelle est la propriété remarquable de la force instantanée ?

Corrigé

Q45. D'après la figure 13, la spire a ses deux conducteurs en $- a /2$ et $a /2$ : elle est large de $a$ , comme un aimant, et longue de $π d$ dans la représentation plane. On oriente sa surface selon la flèche des aimants N, vers l'extérieur. Le champ dans l'entrefer est radial et en créneau. Pour le mobile centré en $x_{m}^{0}$ , le champ en $x$ vaut $B (x - x_{m}^{0})$ , avec $B = + B^$ sur $] 0; a [$ et $- B^$ sur $] - a; 0 [$ (modulo $2 a$ ). Le flux à travers la spire est

$ϕ (x_{m}^{0}) = π d \int_{- a /2}^{a /2} B (x - x_{m}^{0}) d x .$

On note $ϕ^= B^a π d$ , le flux d'un aimant entier.

$x_{m}^{0} = 0$ (cas de la figure 13) : la spire voit la moitié droite d'un aimant S ( $- B^$ sur $] - a /2; 0 [$ ) et la moitié gauche d'un aimant N ( $+ B^$ sur $] 0; a /2 [$ ). Les deux contributions se compensent : $ϕ = 0$ .
$x_{m}^{0} = a /2$ : la spire est entièrement en face de l'aimant S, qui occupe alors $] - a /2; a /2 [$ : $ϕ = - ϕ^$ .
$x_{m}^{0} = - a /2$ : elle est entièrement en face d'un aimant N : $ϕ = + ϕ^$ .

Entre ces positions, la surface en regard d'un aimant varie linéairement avec $x_{m}^{0}$ : $ϕ (x_{m}^{0})$ est un signal triangulaire de période $2 a$ , d'amplitude $ϕ^$ , impair.

Q46. On dérive terme à terme la série de $s$ :

$\frac{d s}{d x} = n \geq 1 \sum [- n ω_{0} A_{n} sin (n ω_{0} x) + n ω_{0} B_{n} cos (n ω_{0} x)] .$

Par unicité de la décomposition en série de Fourier, on identifie terme à terme :

$α_{0} = 0, α_{n} = n ω_{0} B_{n}, β_{n} = - n ω_{0} A_{n} (n \geq 1) .$

La dérivée d'un signal périodique est de valeur moyenne nulle, et dériver multiplie l'harmonique $n$ par $n ω_{0}$ en la déphasant de $9 0^{\circ}$ .

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