Corrigé X-ENS 2025 Physique MPI — Partie I (cylindres et nanotiges) (Q10 à Q16) : Approximation électrostatique, cylindres et nanotiges d'or, photothermie dans l'infrarouge proche

Q10. L'approximation électrostatique suppose que le champ s'établit instantanément dans toute la sphère : la durée de propagation d'un bord à l'autre, $2R/c$, doit être très petite devant la période $2\pi /\omega$ de l'oscillation. De façon équivalente, la taille de la sphère doit être très petite devant la longueur d'onde dans le vide associée à la pulsation d'oscillation :

$$2R\ll \lambda =\frac{2\pi c}{\omega }.$$

C'est une condition de type ARQS : le retard dû à la propagation est négligeable à l'échelle de l'objet.

Ce que le correcteur attend : une comparaison de la taille de l'objet à la longueur d'onde, et non à l'amplitude $x$ du déplacement des électrons (qui intervient dans une autre hypothèse, celle des petits déplacements).

Q11. L'ultraviolet proche s'étend d'environ $200$ à $400\mathrm{nm}$. L'oscillation de la sphère se fait à ${\omega }_s={\omega }_p/\sqrt{3}$ (Q6), donc à une longueur d'onde encore plus grande, ${\lambda }_s=\sqrt{3}{\lambda }_p$, de l'ordre de $350$ à $700\mathrm{nm}$. Pour une bille de diamètre $2R=20\mathrm{nm}$,

$$\frac{2R}{{\lambda }_s}\approx \frac{20}{350\text{aˋ}700}\approx 0,03\text{aˋ}0,06\ll 1.$$

L'approximation électrostatique est donc raisonnable pour ces billes (elle le deviendrait de moins en moins pour des particules de l'ordre de $100\mathrm{nm}$).

Q12. Champ d'un cylindre infini uniformément chargé. Pour un cylindre d'axe $Oz$ de densité $\rho$, tout plan contenant l'axe et $M$, ainsi que le plan perpendiculaire à l'axe passant par $M$, sont plans de symétrie : le champ est radial (coordonnées cylindriques), $\overrightarrow{E}=E(r){\overrightarrow{e}}_r$, $r$ désignant la distance à l'axe, par invariances par translation selon l'axe et par rotation autour de lui. Théorème de Gauss sur un cylindre coaxial de rayon $r<R$ et de hauteur $h$ (flux nul à travers les bases) :

$$E(r)2\pi rh=\frac{\rho \pi r^{2}h}{{\epsilon }_0}⟹\overrightarrow{E}=\frac{\rho }{2{\epsilon }_0}\overrightarrow{HM},$$

où $H$ est le projeté orthogonal de $M$ sur l'axe.

Champ intérieur. Les électrons, déplacés de $\overrightarrow{x}$ perpendiculaire à l'axe, forment un cylindre de densité $-Ne$ dont l'axe est translaté de $\overrightarrow{x}$. Par superposition, comme en Q5 :