Corrigé X-ENS 2025 Physique MPI — Partie I (plaque et sphère) (Q1 à Q9) : Plasmons localisés : plaque mince et sphère métallique, champ uniforme, pulsation plasma, champ dipolaire

Sujet officiel du concours X-ENS, session 2025, épreuve Physique MPI. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Le métal est modélisé par un plasma dilué : électrons de densité volumique $N$ , de masse $m$ et de charge $- e$ ; ions immobiles de densité volumique de charge uniforme $N e$ . Dans toute la partie I, le métal est dans le vide. On se contente de réponses courtes. La figure 1 montre la charge surfacique créée par un déplacement d'ensemble des électrons, pour une plaque mince (a) et pour une sphère ou un cylindre (b) ; l'axe $x$ est vertical, vers le haut.

{Figure 1 — Oscillations de charge à la surface d'une plaque mince (a) et d'une sphère ou d'un cylindre (b).}

Q1. Plaque d'épaisseur négligeable portant $+ σ$ sur une face et $- σ$ sur l'autre (figure 1a) : champ électrique à l'intérieur et à l'extérieur, loin des bords.
Q2. La charge surfacique provient d'une translation d'ensemble des électrons, d'amplitude $x$ , perpendiculaire à la plaque : exprimer $σ$ en fonction de $x$ , $N$ , $e$ .
Q3. Le résultat de Q1 restant valable en régime variable, écrire l'équation du mouvement d'un électron et montrer que $x$ oscille à une pulsation $ω_{p}$ à exprimer avec $N$ , $e$ , $m$ , $ε_{0}$ .
Q4. Champ électrique à l'intérieur d'une boule uniformément chargée, de densité volumique $ρ$ .
Q5. Tous les électrons d'une sphère métallique subissent une petite translation $x$ par rapport aux ions : champ total (superposition ions et électrons) ; montrer qu'il est uniforme.
Q6. En régime variable, équation du mouvement des électrons ; pulsation $ω_{s}$ en fonction de $ω_{p}$ .
Q7. Charge surfacique au point S (figure 1b), où la surface est perpendiculaire à $x$ ; champ juste au-dessus ; comparer au champ intérieur de Q5 et au cas de la plaque.
Q8. Quel champ connu retrouve-t-on loin de la sphère ?
Q9. Tracer sans calcul l'allure des lignes de champ à l'extérieur et à l'intérieur de la sphère.

Corrigé

Q1. Loin des bords, la plaque se comporte comme deux plans infinis parallèles uniformément chargés, très proches l'un de l'autre. Pour un plan infini de charge surfacique $σ$ , tout plan perpendiculaire au plan chargé et contenant le point $M$ est plan de symétrie : le champ est normal au plan ; l'invariance par translation parallèlement au plan montre qu'il ne dépend que de la cote. Le théorème de Gauss sur un cylindre droit traversant le plan donne un champ de norme $σ / (2 ε_{0})$ , dirigé de part et d'autre en s'éloignant du plan si $σ > 0$ . Par superposition des champs des deux faces ( $+ σ$ en haut, $- σ$ en bas, axe $e_{x}$ vers le haut, figure 1a) :

$E_{int} = - \frac{σ}{ε _{0}} e_{x}, E_{ext} = 0 .$

Entre les deux faces, les deux contributions s'ajoutent et le champ va de la face positive vers la face négative ; à l'extérieur, elles se compensent exactement. C'est le champ d'un condensateur plan.

Q2. Notons $x$ le déplacement algébrique des électrons selon $e_{x}$ . Si $x > 0$ , une couche d'épaisseur $x$ d'électrons « dépasse » la face supérieure (charge par unité de surface $- N e x$ ), tandis qu'une couche d'ions d'épaisseur $x$ est découverte sur la face inférieure ( $+ N e x$ ). La charge surfacique de la face supérieure est donc

$σ = - N e x .$

La figure 1a ( $σ > 0$ en haut) correspond ainsi à $x < 0$ : les électrons sont descendus.

Ce que le correcteur attend : le signe. Le contrôle est immédiat à la question suivante : avec le mauvais signe, l'équation obtenue n'est pas celle d'un oscillateur harmonique.

Q3. Système : un électron de la plaque, dans le référentiel du laboratoire supposé galiléen (celui des ions, immobiles). Il subit la force électrique $- e E_{int}$ ; le poids est négligeable et la force magnétique est absente dans ce modèle électrostatique. D'après Q1 et Q2, $E_{int} = - \frac{σ}{ε _{0}} e_{x} = \frac{N e x}{ε _{0}} e_{x}$ . Le principe fondamental de la dynamique, projeté sur $e_{x}$ (tous les électrons ont le même déplacement $x (t)$ ), donne

$m x ¨ = - e \frac{N e x}{ε _{0}} ⟺ x ¨ + ω_{p}^{2} x = 0, ω_{p} = \frac{N e ^{2}}{m ε _{0}} .$

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