Corrigé X-ENS 2025 Physique MPI — Partie II (conditions à l'interface) (Q23 à Q29) : Interface vide-métal : accord de phase, charge surfacique, relations de passage, rapport des composantes normales

Suite de Q17 à Q22 : interface $z=0$, vide (1) pour $z>0$, métal (2) pour $z<0$ ; onde transverse magnétique ($\overrightarrow{B}$ selon $y$, $\overrightarrow{k}$ et $\overrightarrow{E}$ dans le plan $Oxz$), amplitudes complexes $E_x$, $E_z$, $B_y$ ; conductivité complexe $\gamma$ de Q17.

Q23. On admet la continuité en $z=0$ des composantes de $\overrightarrow{E}$ parallèles à la surface, non identiquement nulles : pourquoi $k_x$ et $\omega$ sont-ils les mêmes dans le vide et dans le métal ?
Q24. Justifier l'apparition d'une densité surfacique de charge $\sigma$ sur la surface du métal, avec $\partial \sigma /\partial t=j_z$ ($j_z$ : composante selon $z$ de la densité de courant au même point).
Q25. Avec la conductivité de Q17, relier les amplitudes complexes $\sigma$ et $E_{z2}$.
Q26. Avec les lois de l'électrostatique (supposées valables), exprimer $E_{z1}-E_{z2}$ en fonction de $\sigma$ et ${\epsilon }_0$, puis le rapport $E_{z1}/E_{z2}$ en fonction de $\omega$ et ${\omega }_p$.
Q27. Avec Q20, en déduire $k_{z2}/k_{z1}$ en fonction de $\omega$ et ${\omega }_p$.
Q28. Avec Q22, montrer qu'on retrouve ce rapport en supposant $B_y$ continu en $z=0$.
Q29. On pose $ϵ=1-{\omega }_p^2/{\omega }^2$. Les deux relations de dispersion et le résultat de Q27 forment trois relations entre $k_x$, $k_{z1}$, $k_{z2}$ et $\omega$ ; y remplacer ${\omega }_p$ par $ϵ$, éliminer $k_{z2}$ et $\omega$, et vérifier que $k_{z1}^2=k_x^2/ϵ$ (calcul détaillé). En déduire la relation entre $k_{z2}$ et $k_x$.