Corrigé X-ENS 2025 Physique MPI — Partie II (onde dans le métal) (Q17 à Q22) : Conductivité complexe du plasma, relation de dispersion, structure de l'onde transverse magnétique

On étudie les oscillations électroniques au voisinage de la surface plane d'un métal de grande dimension (plasma dilué : $N$, $m$, $-e$, ions immobiles). $c$ désigne la vitesse de la lumière dans le vide et ${\omega }_p$ la pulsation obtenue en Q3.

Q17. Équation du mouvement des électrons dans un champ électrique uniforme de pulsation $\omega$ ; conductivité complexe $\gamma$ en fonction de $N$, $e$, $m$, $\omega$ (admise valable aussi en champ non uniforme).
Q18. Relation de dispersion entre $\omega$ et $\overrightarrow{k}$ pour une onde plane transverse électrique monochromatique dans le métal ; vérifier que la pulsation de coupure est le ${\omega }_p$ de Q3.

L'interface vide-métal est le plan $z=0$ : vide (milieu 1) pour $z>0$, métal (milieu 2) pour $z<0$ (figure 2). On cherche de chaque côté une onde transverse, plane et monochromatique ; les indices 1 et 2 repèrent le vide et le métal.

{Figure 2 — Interface vide-métal ; l'axe $y$ est dirigé vers l'arrière de la figure.}

Q19. Le champ magnétique est dirigé selon $y$ en tout point : que dire des directions de $\overrightarrow{k}$ et de $\overrightarrow{E}$, dans le vide et dans le métal ?
Q20. $E_x$, $E_z$ amplitudes complexes de $\overrightarrow{E}$, $k_z\ne 0$ : exprimer $E_z$ en fonction de $E_x$, $k_x$, $k_z$ dans chaque milieu.
Q21. Exprimer l'amplitude complexe $B_y$ en fonction de $E_x$, $k_x$, $k_z$, $\omega$ dans chaque milieu.
Q22. Avec la relation de dispersion, éliminer $k_x$ et exprimer $B_y$ en fonction de $E_x$, $k_z$, $\omega$ (faire intervenir $c$ et ${\omega }_p$), dans le vide et dans le métal.