Corrigé X-ENS 2025 Physique MPI — Partie II (plasmon de surface) (Q30 à Q37) : Incidence de Brewster, onde évanescente, relation de dispersion et confinement du plasmon de surface

Notation complexe en ${\mathrm{e}}^{\mathrm{i}(\omega t-\overrightarrow{k}\cdot \overrightarrow{r})}$, comme dans toute la partie II ; on prend $k_x>0$.

Q30. Pour $0<ϵ<1$, Q29 donne $k_{z1}=\pm k_x/\sqrt{ϵ}$ et $k_{z2}=ϵk_{z1}=\pm \sqrt{ϵ}{k}_x$, réels. Pour l'onde incidente, $k_{z1}=-k_x/\sqrt{ϵ}<0$, et l'onde transmise a $k_{z2}=-\sqrt{ϵ}{k}_x<0$ : elle s'enfonce bien dans le métal.

$${\overrightarrow{k}}_i=k_x{\overrightarrow{e}}_x-\frac{k_x}{\sqrt{ϵ}}{\overrightarrow{e}}_z,{\overrightarrow{k}}_t=k_x{\overrightarrow{e}}_x-\sqrt{ϵ}{k}_x{\overrightarrow{e}}_z.$$

Loi de la réflexion (Snell-Descartes) : le rayon réfléchi est dans le plan d'incidence, symétrique du rayon incident par rapport à la normale. Le vecteur d'onde réfléchi a donc la même composante tangentielle $k_x$ (accord de phase de Q23), la même norme $\omega /c$ (même milieu) et une composante normale opposée :

$${\overrightarrow{k}}_r=k_x{\overrightarrow{e}}_x+\frac{k_x}{\sqrt{ϵ}}{\overrightarrow{e}}_z,{\overrightarrow{k}}_r\cdot {\overrightarrow{k}}_t=k_x^2-\frac{k_x}{\sqrt{ϵ}}\sqrt{ϵ}{k}_x=0.$$

Les vecteurs d'onde transmis et réfléchi sont orthogonaux. Angles avec la normale : $\tan i=k_x/\left|k_{z1}\right|=\sqrt{ϵ}$ et $\tan i_t=k_x/\left|k_{z2}\right|=1/\sqrt{ϵ}$, donc $i+i_t=\pi /2$. Le métal a l'indice $n_2=\sqrt{ϵ}<1$ (car $\Vert {\overrightarrow{k}}_t\Vert =\sqrt{ϵ}\omega /c$), et l'on vérifie $\sin i=n_2\sin i_t$ : le rayon transmis s'écarte de la normale ($i_t>i$). L'incidence vérifie $\tan i=n_2/n_1$ : c'est l'incidence de Brewster, pour laquelle une onde polarisée dans le plan d'incidence (c'est le cas ici, $\overrightarrow{E}$ dans $Oxz$) n'est pas réfléchie ; d'où l'absence d'onde réfléchie.

{ Vecteurs d'onde pour $ϵ=0,5$ : $i\approx 35^{\circ }$, $i_t\approx 55^{\circ }$, ${\overrightarrow{k}}_r\perp {\overrightarrow{k}}_t$.}

Ce que le correcteur attend : une incidence oblique quelconque (pas seulement normale), et $i_t>i$ puisque le métal est moins réfringent que le vide.

Q31. Une onde qui se propage selon $x$ et dont l'amplitude décroît exponentiellement selon $z$ sans y propager de phase est une onde évanescente (ici une onde de surface, guidée par l'interface). Comme $k_x$ et $ϵ$ sont réels, $k_{z1}^2=k_x^2/ϵ$ et $k_{z2}^2=ϵk_x^2$ sont réels : $k_{z1}$ et $k_{z2}$ sont soit réels, soit imaginaires purs. Réels, ils donneraient un facteur ${\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}{k}_{z}z}$ de module $1$, sans décroissance ; la décroissance impose donc des $k_z$ imaginaires purs. Le facteur ${\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}{k}_{z}z}$ a pour module ${\mathrm{e}}^{\mathrm{Im}(k_z)z}$ :

• dans le vide ($z>0$), il doit tendre vers $0$ quand $z\to +\infty$ : $\mathrm{Im}(k_{z1})<0$, $k_{z1}=-\mathrm{i}{\kappa }_1$ avec ${\kappa }_1>0$ ;
• dans le métal ($z<0$), il doit tendre vers $0$ quand $z\to -\infty$ : $\mathrm{Im}(k_{z2})>0$, $k_{z2}=+\mathrm{i}{\kappa }_2$ avec ${\kappa }_2>0$.

Les parties imaginaires sont de signes opposés. (Avec la convention ${\mathrm{e}}^{\mathrm{i}(\overrightarrow{k}\cdot \overrightarrow{r}-\omega t)}$, les deux signes s'inversent, mais restent opposés.)