Corrigé X-ENS 2026 Maths A MP — Partie A (Q6 à Q10) : Principe du maximum pour les polynômes par une matrice unitaire

Sujet officiel du concours X-ENS, session 2026, épreuve Maths A MP. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

$D (x, δ)$ est le disque fermé de centre $x$ et de rayon $δ$ , $\partial D (x, δ)$ le cercle ; $D = D (0, 1)$ , $\partial D = \partial D (0, 1)$ . Ici $n \geq 2$ , $p \in C [X]$ est de degré $n - 1$ (les démonstrations n'utilisent que $de g p \leq n - 1$ , sauf Q9 qui exige $p$ non constant), $z \in D$ et $s = 1 - ∣ z ∣^{2}$ . La matrice $U \in M_{n} (C)$ a pour première ligne $(z, s, 0, \dots, 0)$ , pour dernière ligne $(s, - z, 0, \dots, 0)$ , et pour $2 \leq i \leq n - 1$ sa ligne $i$ porte un $1$ en colonne $i + 1$ et des $0$ ailleurs ; $e_{1}$ est le premier vecteur de la base canonique.

Q6. Montrer que $U$ est unitaire.
Q7. Montrer que $p (z) = e_{1}^{*} p (U) e_{1}$ .
Q8. Montrer, avec le théorème de réduction, que $∣ p (z) ∣ \leq ∣ ∣ ∣ p (U) ∣ ∣ ∣ \leq ∥ p ∥_{\partial D}$ .
Q9. On suppose $∣ z ∣ < 1$ . Montrer que $∣ p (z) ∣ < ∥ p ∥_{\partial D}$ .
Q10. Soit $S$ un fermé borné non vide de $C$ ; $\partial S \subset S$ est défini par : $x \in S ∖ \partial S$ si et seulement s'il existe $δ > 0$ tel que $D (x, δ) \subset S$ . Montrer que $∥ p ∥_{S} = ∥ p ∥_{\partial S}$ .

Corrigé

Notons $(e_{1}, \dots, e_{n})$ la base canonique de $C^{n}$ , et $C_{1}, \dots, C_{n}$ les colonnes de $U$ . En lisant $U$ colonne par colonne :

$C_{1} = z e_{1} + s e_{n}, C_{2} = s e_{1} - z e_{n}, C_{j} = e_{j - 1} (3 \leq j \leq n),$

la dernière famille venant de ce que le seul coefficient non nul de la colonne $j \geq 3$ est le $1$ de la ligne $j - 1$ . Autrement dit $U e_{1} = C_{1}$ , $U e_{2} = C_{2}$ et $U e_{j} = e_{j - 1}$ pour $3 \leq j \leq n$ . (Pour $n = 2$ , $U = (z s s - z)$ et la troisième famille est vide.) On note que $s$ est un réel de $[0, 1]$ , bien défini puisque $∣ z ∣ \leq 1$ .

Q6. On vérifie que $(C_{1}, \dots, C_{n})$ est une base orthonormale.

$∥ C_{1} ∥^{2} = ∣ z ∣^{2} + s^{2} = ∣ z ∣^{2} + 1 - ∣ z ∣^{2} = 1$ et $∥ C_{2} ∥^{2} = s^{2} + ∣ z ∣^{2} = 1$ .
$⟨ C_{1} ∣ C_{2} ⟩ = z s + s (- z) = z s - sz = 0$ , car $s = s$ et $z = z$ .
Pour $3 \leq j \leq n$ , $C_{j} = e_{j - 1}$ avec $2 \leq j - 1 \leq n - 1$ : ces vecteurs sont deux à deux orthogonaux et unitaires, et orthogonaux à $C_{1}$ et $C_{2}$ , qui n'ont de coordonnées non nulles que sur $e_{1}$ et $e_{n}$ .

Les colonnes de $U$ forment une base orthonormale : $U$ est unitaire (caractérisation admise au préambule). Ce que le correcteur attend : les coefficients non triviaux (norme de $C_{1}$ , de $C_{2}$ , produit $⟨ C_{1} ∣ C_{2} ⟩$ avec la conjugaison) écrits, pas seulement « on vérifie ».

Q7. Pour un vecteur $v$ , $e_{1}^{*} v =^{t} e_{1} v = v_{1}$ est la première coordonnée de $v$ . Montrons par récurrence sur $k \in {1, \dots, n - 1}$ la propriété

$P (k) : U^{k} e_{1} = z^{k} e_{1} + s m = 0 \sum k - 1 z^{m} e_{n - k + 1 + m},$

où les indices $n - k + 1 + m$ décrivent ${n - k + 1, \dots, n} \subset {2, \dots, n}$ (car $k \leq n - 1$ ) : le vecteur $U^{k} e_{1}$ a donc pour première coordonnée $z^{k}$ . L'hypothèse de récurrence porte sur toute la colonne, non sur le seul coefficient $(1, 1)$ de $U^{k}$ : c'est indispensable pour calculer l'étape suivante.

Initialisation. $U e_{1} = C_{1} = z e_{1} + s e_{n}$ : c'est $P (1)$ (terme $m = 0$ , indice $n$ ).

Hérédité. Soit $1 \leq k \leq n - 2$ tel que $P (k)$ soit vraie. Les indices $n - k + 1 + m$ ( $0 \leq m \leq k - 1$ ) sont $\geq n - k + 1 \geq 3$ , donc $U e_{n - k + 1 + m} = e_{n - k + m}$ . Par linéarité,

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