Corrigé X-ENS 2026 Maths A MP — Partie B (Q11 à Q17) : Inégalité de Von Neumann pour les contractions

Rappels utilisés : $(MN{)}^{\ast }=N^{\ast }{M}^{\ast }$, $(M^{\ast }{)}^{\ast }=M$, $(M+N{)}^{\ast }=M^{\ast }+N^{\ast }$ (conjugaison et transposition) ; d'après Q8 et Q10, pour tout $p\in \mathbb{C}[X]$, $\Vert p{\Vert }_{\partial \mathbb{D}}\le \Vert p{\Vert }_{\mathbb{D}}$ (et même égalité). Les résultats des préliminaires valent pour des matrices carrées de toute taille.

Q11. Si $A$ est unitaire, le théorème de réduction donne $A=V\mathrm{diag}({\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n)V^{-1}$ avec $V$ unitaire et $|{\lambda }_i|=1$. Comme en Q8, $\mathrm{cond}(V)=|||V||||||V^{\ast }|||=1$ (Q4, $V^{-1}=V^{\ast }$ unitaire). La majoration de Q5 donne

$$|||p(A)|||\le \mathrm{cond}(V)\Vert p{\Vert }_{\sigma (A)}=\Vert p{\Vert }_{\sigma (A)}\le \Vert p{\Vert }_{\partial \mathbb{D}}\le \Vert p{\Vert }_{\mathbb{D}},$$

puisque $\sigma (A)=\{{\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n\}\subset \partial \mathbb{D}\subset \mathbb{D}$. (Une matrice unitaire est bien une contraction : $|||A|||=1$.)

Q12. Hermitienne. $(I-A^{\ast }A{)}^{\ast }=I^{\ast }-A^{\ast }(A^{\ast }{)}^{\ast }=I-A^{\ast }A$ : la matrice $H=I-A^{\ast }A$ est hermitienne. De même $(I-A{A}^{\ast }{)}^{\ast }=I-(A^{\ast }{)}^{\ast }{A}^{\ast }=I-A{A}^{\ast }$.

Réduction. Par le théorème du préambule, $H=W\mathrm{diag}({\mu }_1,\dots ,{\mu }_n)W^{-1}$ avec $W$ unitaire et ${\mu }_i\in \mathbb{R}$, valeurs propres de $H$.

Positivité des ${\mu }_i$. Soit $x$ un vecteur propre unitaire de $H$ pour ${\mu }_i$. Avec $⟨My|w⟩=⟨y|M^{\ast }w⟩$ appliquée à $M=A^{\ast }$ :

$${\mu }_i={\mu }_i\Vert x{\Vert }^2=⟨Hx|x⟩=\Vert x{\Vert }^2-⟨A^{\ast }(Ax)|x⟩=1-⟨Ax|Ax⟩,$$ donc $${\mu }_i=1-\Vert Ax{\Vert }^2\ge 1-|||A||{|}^2\ge 0.$$

Racine carrée. Posons $D_A=W\mathrm{diag}(\sqrt{{\mu }_1},\dots ,\sqrt{{\mu }_n})W^{-1}$. Comme $W^{-1}=W^{\ast }$ et que $\Delta =\mathrm{diag}(\sqrt{{\mu }_i})$ est réelle diagonale (${\Delta }^{\ast }=\Delta$), $D_A^{\ast }=(W^{\ast }{)}^{\ast }{\Delta }^{\ast }{W}^{\ast }=W\Delta W^{\ast }=D_A$ : $D_A$ est hermitienne ; elle est semblable à $\Delta$, donc ses valeurs propres sont les $\sqrt{{\mu }_i}$, réelles positives ; enfin $D_A^2=W{\Delta }^2{W}^{-1}=W\mathrm{diag}({\mu }_i)W^{-1}=I-A^{\ast }A$.