Corrigé X-ENS 2026 Maths A MP — Partie C (Q18 à Q25) : Hausdorffien et rayon numérique d'une matrice

Q18. Soit $\lambda \in \sigma (A)$ et $x$ un vecteur propre associé, normalisé : $\Vert x\Vert =1$. Alors

$$⟨Ax|x⟩=⟨\lambda x|x⟩=\lambda \Vert x{\Vert }^2=\lambda ,$$

donc $\lambda \in \mathcal{H}(A)$.

Q19. Soit $D=\mathrm{diag}({\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n)$ et $K=\{{\sum }_i{\alpha }_i{\lambda }_i,{\alpha }_i\ge 0,{\sum }_i{\alpha }_i=1\}$. On procède par double inclusion.

$\subset$ : pour $\Vert x\Vert =1$, $⟨Dx|x⟩={\sum }_i{\lambda }_i{x}_i\overline{x_i}={\sum }_i{\lambda }_i|x_i{|}^2$, avec ${\alpha }_i=|x_i{|}^2\ge 0$ et ${\sum }_i{\alpha }_i=\Vert x{\Vert }^2=1$ : c'est un élément de $K$.

$\supset$ : si ${\alpha }_i\ge 0$ et ${\sum }_i{\alpha }_i=1$, le vecteur $x=(\sqrt{{\alpha }_1},\dots ,\sqrt{{\alpha }_n})$ est de norme $1$ et $⟨Dx|x⟩={\sum }_i{\lambda }_i{\alpha }_i$.

Donc $\mathcal{H}(D)=K$, enveloppe convexe de $\{{\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n\}$.

Q20. Invariance par conjugaison unitaire. Soit $V$ unitaire et $A=VD{V}^{-1}=VD{V}^{\ast }$. Pour $\Vert x\Vert =1$, avec $⟨My|w⟩=⟨y|M^{\ast }w⟩$ appliquée à $M=V$ :

$$⟨Ax|x⟩=⟨V(D{V}^{\ast }x)|x⟩=⟨D{V}^{\ast }x|V^{\ast }x⟩.$$

L'application $x\mapsto V^{\ast }x$ est une bijection de la sphère unité sur elle-même ($V^{\ast }$ est unitaire, de réciproque $V$, unitaire aussi : Q4). Quand $x$ décrit la sphère, $y=V^{\ast }x$ la décrit aussi, donc $\mathcal{H}(A)=\mathcal{H}(D)$.

Conclusion. Par le théorème de réduction, si $A$ est unitaire, $A=VD{V}^{-1}$ avec $V$ unitaire et $D=\mathrm{diag}({\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n)$, $|{\lambda }_i|=1$ ; par Q19, $\mathcal{H}(A)$ est l'enveloppe convexe des valeurs propres de $A$ : un polygone convexe inscrit dans le cercle unité (éventuellement réduit à un segment ou un point). Si $A$ est hermitienne, les ${\lambda }_i$ sont réels, et l'enveloppe convexe de réels est le segment $[{\lambda }_{\min },{\lambda }_{\max }]$ : tout $\sum {\alpha }_i{\lambda }_i$ est entre le plus petit et le plus grand ${\lambda }_i$, et tout $t=\theta {\lambda }_{\min }+(1-\theta ){\lambda }_{\max }$, $\theta \in [0,1]$, est une telle combinaison. Donc $\mathcal{H}(A)=[{\lambda }_{\min }(A),{\lambda }_{\max }(A)]\subset \mathbb{R}$.