Corrigé X-ENS 2026 Maths A MP — Partie C (Q26) (Q26-a à Q26-d) : Inégalité de puissance r(A^k) ≤ r(A)^k par les racines de l'unité

Sujet officiel du concours X-ENS, session 2026, épreuve Maths A MP. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Notations de la partie C : $H (A) = {⟨ A x ∣ x ⟩, ∥ x ∥ = 1}$ , $r (A) = max_{z \in H (A)} ∣ z ∣$ . Pour $k \geq 1$ , $ω_{k} = exp (\frac{2 i π}{k})$ . But : $r (A^{k}) \leq r (A)^{k}$ pour tout $k \in N$ .

Q26-a. À partir de $X^{k} - 1 = \prod_{ℓ = 1}^{k} (X - ω_{k}^{ℓ})$ , établir $1 - X^{k} = \prod_{ℓ = 1}^{k} (1 - ω_{k}^{ℓ} X)$ et $1 = \frac{1}{k} \sum_{j = 1}^{k} \prod_{ℓ \neq = j} (1 - ω_{k}^{ℓ} X)$ .
Q26-b. Pour $∥ x ∥ = 1$ et $x_{j} = (\prod_{ℓ \neq = j} (I - ω_{k}^{ℓ} A)) x$ , montrer que $\frac{1}{k} \sum_{j = 1}^{k} [∥ x_{j} ∥^{2} - ⟨ ω_{k}^{j} A x_{j} ∣ x_{j} ⟩] = 1 - ⟨ A^{k} x ∣ x ⟩$ .
Q26-c. On suppose $r (A) \leq 1$ ; soit $θ \in R$ et $x$ unitaire. En appliquant l'égalité précédente à $e^{i θ} A$ , montrer que $Re (1 - e^{i k θ} ⟨ A^{k} x ∣ x ⟩) \geq 0$ , puis que $r (A^{k}) \leq 1$ .
Q26-d. En déduire $r (A^{k}) \leq r (A)^{k}$ pour tout $k \in N$ et toute $A \in M_{n} (C)$ .

Corrigé

Dans tout ce fichier $k \geq 1$ (sauf en Q26-d) et l'on écrit $ω = ω_{k}$ . Les $ω^{ℓ}$ , $1 \leq ℓ \leq k$ , sont les $k$ racines $k$ -ièmes de l'unité, deux à deux distinctes.

Q26-a. Première identité. Le polynôme $P = \prod_{ℓ = 1}^{k} (1 - ω^{ℓ} X)$ est de degré $k$ (coefficient dominant $\prod_{ℓ} (- ω^{ℓ}) \neq = 0$ ) ; ses racines sont les $ω^{- ℓ}$ , $1 \leq ℓ \leq k$ . Comme $ℓ \mapsto k - ℓ$ permute ${1, \dots, k}$ modulo $k$ et que $ω^{- ℓ} = ω^{k - ℓ}$ , ce sont exactement les $k$ racines $k$ -ièmes de l'unité, distinctes. Le polynôme $Q = 1 - X^{k}$ est aussi de degré $k$ et a ces mêmes $k$ racines distinctes. Deux polynômes de degré $k$ ayant les mêmes $k$ racines simples sont proportionnels (chacun est le produit de son coefficient dominant par $\prod_{ℓ} (X - ω^{ℓ})$ ) ; leurs coefficients constants valant tous deux $1$ , ils sont égaux :

$1 - X^{k} = ℓ = 1 \prod k (1 - ω^{ℓ} X) .$

Seconde identité (par dérivation). Notons $P_{j} = \prod_{ℓ \neq = j} (1 - ω^{ℓ} X)$ . La dérivée d'un produit donne

100 % gratuit

La suite du corrigé est sur Adloun

Le corrigé rédigé en entier, question par question, et le tuteur pour poser des questions sur ce sujet.

Voir le corrigé complet, gratuitement

Inscription gratuite en 30 secondes (e-mail, nom d'utilisateur, mot de passe, classe ou profil), sans carte bancaire : arrivée directe sur le corrigé.

Toutes les parties de l'épreuve

Corrigé complet gratuit →