Corrigé X-ENS 2026 Maths A MP — Partie D (Q27 à Q30-b) : Conjecture de Crouzeix : cas particuliers et constante 2

Q27. D'après Q21, $\mathcal{H}(J)=\mathbb{D}(0,\frac{1}{2})$. Prenons $p=X$ : $\Vert p{\Vert }_{\mathcal{H}(J)}={\max }_{|z|\le 1/2}|z|=\frac{1}{2}$. D'autre part $|||p(J)|||=|||J|||=1$ : pour $\Vert x\Vert =1$, $\Vert Jx\Vert =\Vert (x_2,0)\Vert =|x_2|\le 1$, avec égalité pour $x=e_2$. Ainsi

$$|||p(J)|||=1=2\cdot \frac{1}{2}=2\Vert p{\Vert }_{\mathcal{H}(J)}:$$

l'inégalité (1) est une égalité pour ce couple. Si une inégalité $|||p(A)|||\le c\Vert p{\Vert }_{\mathcal{H}(A)}$ était vraie pour tous $A$ et $p$ avec une constante $c<2$, elle donnerait ici $1\le \frac{c}{2}<1$, ce qui est absurde. La constante $2$ ne peut donc pas être améliorée.

Q28. Pour $k=0$ : $p(A)=I_n$, $|||I_n|||=1$, et $\Vert p{\Vert }_{\mathcal{H}(A)}=1$ ($\mathcal{H}(A)$ non vide) : $1\le 2$. Pour $k\ge 1$, on enchaîne la minoration de Q23 appliquée à $A^k$, puis Q26 :

$$|||A^k|||\le 2r(A^k)\le 2r(A{)}^k=2(\underset{z\in \mathcal{H}(A)}{\max }|z|{)}^k=2\underset{z\in \mathcal{H}(A)}{\max }|z{|}^k=2\Vert X^k{\Vert }_{\mathcal{H}(A)},$$

l'avant-dernière égalité parce que $t\mapsto t^k$ est croissante sur ${\mathbb{R}}_{+}$. Donc (1) est vraie pour $p=X^k$.