Corrigé X-ENS 2026 Maths A MP — Préliminaires (Q1 à Q5) : Norme subordonnée, matrices unitaires et conditionnement

Sujet officiel du concours X-ENS, session 2026, épreuve Maths A MP. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Sur $C^{n}$ ( $n \geq 1$ ) : $⟨ x ∣ y ⟩ = \sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i}$ (linéaire en $x$ , semi-linéaire en $y$ ), $∥ x ∥ = ⟨ x ∣ x ⟩$ ; $A^{*} =^{t} A$ , et $⟨ A x ∣ y ⟩ = ⟨ x ∣ A^{*} y ⟩$ . Norme subordonnée : $∣ ∣ ∣ A ∣ ∣ ∣ = sup_{∥ x ∥ = 1} ∥ A x ∥$ ; pour $P$ inversible, $cond (P) = ∣ ∣ ∣ P ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ P^{- 1} ∣ ∣ ∣$ . $A$ est unitaire si $A^{*} A = I_{n}$ (admis : si et seulement si $∥ A x ∥ = ∥ x ∥$ pour tout $x$ , si et seulement si ses colonnes forment une base orthonormale). Théorème admis : une matrice unitaire (resp. hermitienne, $A^{*} = A$ ) s'écrit $V diag (λ_{1}, \dots, λ_{n}) V^{- 1}$ avec $V$ unitaire et des $λ_{i}$ de module $1$ (resp. réels). Pour $S \subset C$ compact et $p \in C [X]$ , $∥ p ∥_{S} = sup_{α \in S} ∣ p (α) ∣$ .

Q1. Justifier l'existence de $∣ ∣ ∣ A ∣ ∣ ∣$ et montrer que $∣ ∣ ∣ A ∣ ∣ ∣ = max_{x \neq = 0} ∥ A x ∥/∥ x ∥$ .
Q2. Exprimer $∣ ∣ ∣ diag (λ_{1}, \dots, λ_{n}) ∣ ∣ ∣$ en fonction des $λ_{i}$ .
Q3. Montrer que $∣ ∣ ∣ A B ∣ ∣ ∣ \leq ∣ ∣ ∣ A ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ B ∣ ∣ ∣$ .
Q4. Pour $U$ unitaire, vérifier $∣ ∣ ∣ U ∣ ∣ ∣ = 1$ et $∣ ∣ ∣ A U ∣ ∣ ∣ = ∣ ∣ ∣ U A ∣ ∣ ∣ = ∣ ∣ ∣ A ∣ ∣ ∣$ .
Q5. Si $A = P D P^{- 1}$ avec $D$ diagonale et $σ (A)$ le spectre de $A$ , montrer que pour tout $p \in C [X]$ : $∥ p ∥_{σ (A)} \leq ∣ ∣ ∣ p (A) ∣ ∣ ∣ \leq cond (P) ∥ p ∥_{σ (A)}$ .

Corrigé

Q1. Notons $Σ = {x \in C^{n}, ∥ x ∥ = 1}$ la sphère unité (et non la boule).

$Σ$ est fermée : c'est l'image réciproque du fermé ${1}$ par la norme, continue (elle est $1$ -lipschitzienne par la seconde inégalité triangulaire).
$Σ$ est bornée, et non vide ( $e_{1} \in Σ$ , puisque $n \geq 1$ ).
$C^{n}$ est de dimension finie : fermée et bornée, $Σ$ est donc compacte.

L'application $f : x \mapsto ∥ A x ∥$ est continue sur $C^{n}$ , comme composée de l'application linéaire $x \mapsto A x$ (continue, car linéaire en dimension finie) et de la norme. Elle est à valeurs réelles : par le théorème des bornes atteintes, $f$ est bornée sur le compact non vide $Σ$ et y atteint sa borne supérieure. Ainsi $∣ ∣ ∣ A ∣ ∣ ∣$ existe (c'est un réel) et c'est un maximum : il existe $x_{0} \in Σ$ avec $∥ A x_{0} ∥ = ∣ ∣ ∣ A ∣ ∣ ∣$ .

Passage aux vecteurs non nuls. Pour $x \neq = 0$ , $u = x /∥ x ∥$ est dans $Σ$ et, par linéarité de $A$ et homogénéité de la norme, $\frac{∥ A x ∥}{∥ x ∥} = ∥ A u ∥$ . Réciproquement, tout $u \in Σ$ est non nul et vérifie $\frac{∥ A u ∥}{∥ u ∥} = ∥ A u ∥$ . Les deux ensembles de réels

${\frac{∥ A x ∥}{∥ x ∥}, x \neq = 0} et {∥ A u ∥, u \in Σ}$

sont donc égaux. Le second admet un plus grand élément $∣ ∣ ∣ A ∣ ∣ ∣$ (atteint en $x_{0}$ ) ; le premier aussi, et

$∣ ∣ ∣ A ∣ ∣ ∣ = x \neq = 0 max \frac{∥ A x ∥}{∥ x ∥} .$

En particulier, pour tout $x \in C^{n}$ (y compris $x = 0$ ) :

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