Corrigé X-ENS 2026 Maths PC — Deuxième partie (9 à 18) : Chaîne d'Ising périodique : matrice de transfert, énergie libre ln λ − ln 2, limite β → +∞

Sujet officiel du concours X-ENS, session 2026, épreuve Maths PC. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Les $σ_{i}$ ( $i \in N^{*}$ ) sont indépendantes, de loi $P [σ_{i} = 1] = P [σ_{i} = - 1] = \frac{1}{2}$ ; $X^{(N)} = (σ_{1}, \dots, σ_{N})$ . Pour $a \in R^{N}$ , $H_{N} (β, h, a) = β (\sum_{i = 1}^{N - 1} a_{i} a_{i + 1} + a_{N} a_{1}) + h \sum_{i = 1}^{N} a_{i}$ , puis $Z_{N} (β, h) = E [exp H_{N} (β, h, X^{(N)})]$ et $F_{N} = \frac{1}{N} ln Z_{N}$ . $ϕ$ désigne la fonction de la première partie.

Q9. Montrer que $Z_{N + 1} (0, h) = ch (h) Z_{N} (0, h)$ ; calculer $F_{N} (0, h)$ .
Q10. Montrer que $F_{N} : R^{2} \to R$ est convexe.
Pour Q11 à Q14, $β ⩾ 0$ et $h \in R$ sont fixés.
Q11. Pour $A = (e^{β - h} e^{- β - h} e^{- β + h} e^{β + h})$ , montrer que $A$ a deux valeurs propres réelles distinctes, la plus grande étant $λ (β, h) = e^{β} ch (h) + e^{2 β} ch^{2} (h) - 2 sh (2 β)$ .
Q12. Avec $B_{s, t} = exp (β s t + h s)$ , montrer que $exp H_{N} (β, h, a) = (\prod_{i = 1}^{N - 1} B_{a_{i}, a_{i + 1}}) B_{a_{N}, a_{1}}$ .
Q13. En déduire $Z_{N} (β, h) = 2^{- N} tr (A^{N})$ .
Q14. Montrer que $F_{N} (β, h) \to ln λ (β, h) - ln 2$ .
Q15. Montrer que $λ$ est de classe $C^{\infty}$ sur $[0, + \infty [\times R$ .
Q16. Avec $m_{N} (β, h) = \frac{1}{Z _{N} ( β , h )} E [(\frac{1}{N} \sum_{i = 1}^{N} σ_{i}) exp H_{N} (β, h, X^{(N)})]$ , montrer que $m_{N} (β, h) \to \frac{\partial}{\partial h} ln λ (β, h)$ .
Q17. Pour $β \in N$ , $g_{β} (h) = ln λ (β, h) - β$ : montrer que $(g_{β})$ converge simplement vers $h \mapsto ∣ h ∣$ .
Q18. Identifier la limite simple de $(g_{β}^{'})$ ; la convergence est-elle uniforme ?

Corrigé

Q9. Pour $β = 0$ , $H_{N} (0, h, X^{(N)}) = h \sum_{i = 1}^{N} σ_{i}$ . Posons $U_{N} = exp (h \sum_{i = 1}^{N} σ_{i})$ ; alors $U_{N + 1} = U_{N} e^{h σ_{N + 1}}$ . D'après le lemme des coalitions, $U_{N}$ , fonction de $(σ_{1}, \dots, σ_{N})$ , est indépendante de $e^{h σ_{N + 1}}$ ; ces variables étant finies, l'espérance du produit est le produit des espérances :

$Z_{N + 1} (0, h) = E [U_{N}] E [e^{h σ_{N + 1}}] = Z_{N} (0, h) (\frac{1}{2} e^{h} + \frac{1}{2} e^{- h}) = ch (h) Z_{N} (0, h) .$

Comme $Z_{1} (0, h) = E [e^{h σ_{1}}] = ch (h)$ , une récurrence immédiate donne $Z_{N} (0, h) = ch (h)^{N}$ , d'où

$F_{N} (0, h) = \frac{1}{N} ln (ch (h)^{N}) = ln ch (h) (ch (h) ⩾ 1 > 0) .$

Q10. Posons $V = \sum_{i = 1}^{N - 1} σ_{i} σ_{i + 1} + σ_{N} σ_{1}$ , $W = \sum_{i = 1}^{N} σ_{i}$ et $X = (V, W)$ , variable aléatoire à valeurs dans une partie finie de $R^{2}$ . Pour $λ = (β, h) \in R^{2}$ , $H_{N} (β, h, X^{(N)}) = β V + hW = λ \cdot X$ , donc

$N F_{N} (β, h) = ln E [e^{λ \cdot X}] = ϕ (λ)$

où $ϕ$ est la fonction de la première partie pour ce $X$ (avec $d = 2$ ). D'après Q8, $ϕ$ est convexe ; $F_{N} = \frac{1}{N} ϕ$ l'est aussi (l'inégalité de convexité se conserve par multiplication par $\frac{1}{N} > 0$ ).

Q11. On a $tr A = e^{β} (e^{- h} + e^{h}) = 2 e^{β} ch (h)$ et $det A = e^{2 β} - e^{- 2 β} = 2 sh (2 β)$ , donc

$χ_{A} (X) = X^{2} - 2 e^{β} ch (h) X + 2 sh (2 β),$

de discriminant réduit $Δ^{'} = e^{2 β} ch^{2} (h) - 2 sh (2 β)$ . Avec $ch^{2} - 1 = sh^{2}$ et $2 sh (2 β) = e^{2 β} - e^{- 2 β}$ :

$Δ^{'} = e^{2 β} (ch^{2} (h) - 1) + e^{- 2 β} = e^{2 β} sh^{2} (h) + e^{- 2 β} > 0.$

Le polynôme caractéristique a donc deux racines réelles distinctes $e^{β} ch (h) \pm Δ^{'}$ : ce sont les valeurs propres de $A$ , et la plus grande est $λ (β, h) = e^{β} ch (h) + e^{2 β} ch^{2} (h) - 2 sh (2 β)$ . On note $μ (β, h) = e^{β} ch (h) - Δ^{'}$ l'autre.

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